Complemento ortogonal
En los campo matemáticos del álgebra lineal y del análisis funcional, el complemento ortogonal de un subespacio vectorial de un espacio vectorial sobre dotado de un producto escalar es el conjunto de todos los vectores de que son ortogonales a todo vector de . Es decir,
Propiedades
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Para ver que es un subespacio vectorial hay que ver que es no vacío, cerrado para la suma y para el producto por escalar.
Fijamos un subespacio vectorial arbitrario. Vamos a ver que es un subespacio vectorial.
Es no vacío, pues por definición de producto escalar,
Veamos que es cerrado para la suma. Sean . Queremos ver que o lo que es lo mismo, que . Pero por bilinealidad del producto escalar,
pues son de . Por tanto,
Queda ver que es cerrado para el producto por escalar. Sean y . Como antes, vamos a ver que .
Pero por bilinealidad del producto escalar,
pues . Por tanto, también es cerrado para el producto por escalar y es, pues, un subespacio vectorial.
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(2) Teorema de proyección: Si tiene dimensión finita, descompone en suma directa como
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Sea una base de . Es decir, ( es el subespacio generado por ).
Por el teorema de intercambio de Steinitz, podemos completarla para formar una base de : (suponiendo que la dimensión de es .
Ahora podemos aplicar el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt a esta base para obtener una ortonormal: . Por construcción, .
Por tanto, como los vectores de esta base son ortogonales dos a dos por ser una base ortonormal, tenemos que y, como es subespacio vectorial,
Veamos que . Es equivalente ver que
Sea, pues, . Por tanto, y .
Por tanto, tenemos que , pero nos queda ver que . Pero por ,
Y, por otro lado, y . Por tanto, de las dos desigualdades obtenemos que
y, como
Por tanto,
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Proyección ortogonal
De esta última propiedad obtenemos que , con de forma única, por lo que podemos definir proyección ortogonal de sobre como y escribiremos que . Simétricamente, podemos definir la proyección ortogonal de sobre como y escribiremos .
Si definimos la aplicación tenemos que:
es aplicación lineal con y
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Veamos que es una aplicación lineal. Sean y . Queremos ver que .
Observamos que, por el teorema de proyección, y . Por lo que
, con el primer paréntesis en y el segundo en . Por el teorema de proyección, esta descomposición es única y, por definición de , tenemos que
, como queríamos ver.
Veamos ahora las expresiones del núcleo y la imagen de .
:
Directa por definición de ![{\displaystyle \pi _{F}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6248ed3c81d19298a8b269eb919ad3c4f3aa7e55)
Sea arbitrario. Podemos escribir , con por hipótesis y porque es subespacio vectorial. Así, por el teorema de proyección, . Como esto es cierto para cualquier , tenemos la inclusión que buscábamos.
:
Sea . Podemos escribir, como antes, , pero ahora con por hipótesis y por ser un subespacio vectorial. Por tanto, por el teorema de proyección, .
Sea . Como esto vale para cualquier , tenemos la inclusión que nos faltaba. ![{\displaystyle \quad \square }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92a6f8dcc619a246cfa406f34c82de4bedff6fa)
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Bibliografía
- Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003 .
- Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl 0288.15002 .
- Milnor, J.; Husemoller, D. (1973), Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 73, Springer-Verlag, ISBN 3-540-06009-X, Zbl 0292.10016 .
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