La conjetura de Euler, también conocida como la conjetura de la suma de potencias de Euler, es una conjeturamatemáticarefutada, relacionada con el último teorema de Fermat. Fue propuesta por Leonhard Euler en 1769. Establece que para todos los números enterosn y k mayores que 1, si la suma de nk-ésimas potencias de enteros positivos es en sí misma una k-ésima potencia, entonces n es mayor o igual que k:
ak 1 + ak 2 + ... + ak n = bk ⇒ n ≥ k
La conjetura representa un intento de generalizar el último teorema de Fermat, que es un caso especial de n = 2: si ak 1 + ak 2 = bk, entonces 2 ≥ k.
Aunque la conjetura es válida para el caso k = 3 (que se sigue del último teorema de Fermat para las terceras potencias), fue refutada para k = 4 y k = 5. Se desconoce si la conjetura falla o es válida para cualquier valor k ≥ 6.
Trasfondo
Euler era consciente de la igualdad 594 + 1584 = 1334 + 1344 que involucra sumas de potencias a la cuarta potencia. Sin embargo, no se trata de un contraejemplo porque ningún término está aislado en un lado de la ecuación. También proporcionó una solución completa al problema de los cuatro cubos como en el número de Platón33 + 43 + 53 = 63 o el número taxicab 1729.[1][2] La solución general de la ecuación
es
donde a y b son enteros cualesquiera.
Contraejemplos
La conjetura de Euler fue refutada por Leon Lander y Thomas Parkin en 1966 cuando, a través de una búsqueda directa por computadora en un CDC 6600, encontraron un contraejemplo para k = 5.[3] Este descubrimiento se publicó en un artículo que constaba de solo dos frases.[3] Se conocen un total de tres contraejemplos primitivos (es decir, en los que no todos los sumandos tienen un factor común):
Esta es una curva elíptica con un punto racional en v1 = −31/467. A partir de este punto racional inicial, se puede calcular una colección infinita de otros puntos. La sustitución de v1 en la identidad y la eliminación de factores comunes genera el ejemplo numérico citado anteriormente.
En 1988, Roger Frye encontró el contraejemplo más pequeño posible para k = 4
958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814
realizando una búsqueda informática directa mediante técnicas sugeridas por Elkies. Esta solución es la única con valores de las variables por debajo de 1.000.000.[7]
Generalizaciones
Una interpretación del número de Platón, 3³ + 4³ + 5³ = 6³
En 1967, LJ Lander, TR Parkin y John Selfridge conjeturaron[8] que si
,
donde ai ≠ bj son números enteros positivos para todo 1 ≤ i ≤ n1 ≤ j ≤ m, entonces m + n ≥ k. En el caso especial m = 1, la conjetura establece que si
bajo las condiciones dadas anteriormente, entonces n ≥ k − 1.
El caso especial puede describirse como el problema de dividir una potencia perfecta en potencias similares. Para k = 4, 5, 7, 8 y n = k o k − 1, hay muchas soluciones conocidas. Algunas de ellas se enumeran a continuación. En 2002 no se habían hallado soluciones para , cuyo término final es ≤ 730000.[9]
↑ abLander, L. J.; Parkin, T. R. (1966). «Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers». Bull. Amer. Math. Soc.72 (6): 1079. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3.
↑Frye, Roger E. (1988), «Finding 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 on the Connection Machine», Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications, pp. 106-116, doi:10.1109/SUPERC.1988.74138.