En teoría de números, concretamente en aritmética modular, el criterio de Euler es utilizado para calcular si un número entero x es un residuo cuadrático módulo un número primo. Su nombre se debe al matemático suizo Leonhard Euler.[1][2][3]
Enunciado
Sea p > 2 un número primo y a un número entero coprimo con p. Entonces a es un residuo cuadrático módulo p si y solo si
![{\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv 1{\pmod {p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbbd3709a8ea260c3a458d1362e0b7d9da28049)
Como corolario de este teorema se obtiene que si a no es un residuo cuadrático módulo p entonces
![{\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv -1{\pmod {p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb773802ffcbcfe2e3cbe6ec14840b6c4cf60564)
Así, el criterio de Euler puede ser reformulado de manera más compacta usando el símbolo de Legendre:
![{\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv \left({\frac {a}{p}}\right){\pmod {p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a43612285cc886776d9a9d142de92a960da9607)
Demostración
Supóngase que
. Se sabe por el pequeño teorema de Fermat que si p es primo y es coprimo con a, es decir, p no divide al número a, entonces
. Luego se tiene que
|
|
|
|
|
|
A la inversa, se supone que
. Sea b un elemento primitivo módulo p. Entonces
para algún i. Luego se tiene que
|
|
|
|
Como b es de orden p-1, debe darse el caso de que p-1 divide a i(p-1)/2. Por lo tanto, i es par, y las raíces cuadradas de a son
.
Referencias
- ↑ Gauss, DA, Art. 106
- ↑ Dense, Joseph B.; Dence, Thomas P. (1999). «Theorem 6.4, Chap 6. Residues». Elements of the Theory of Numbers. Harcourt Academic Press. p. 197. ISBN 9780122091308.
- ↑ Leonard Eugene Dickson, "History Of The Theory Of Numbers", vol 1, p 205, Chelsea Publishing 1952
Bibliografía
- Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9, (Capítulo 9.2)
Enlaces externos