Distribución Hipergeométrica |
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Parámetros |
![{\displaystyle N\in \{0,1,2,\dots \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2a09411e799c2edef865bf3dd22b1afda7b285)
![{\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots ,N\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06aa124f10b23801aefeb86d648d3dd537d22b66) |
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Dominio |
![{\displaystyle \max\{0,n-N+K\}\leq x\leq \min\{K,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ebb0df38e07b21be52724ff269a2659537a3ced) |
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Función de probabilidad (fp) |
![{\displaystyle {{{K \choose x}{{N-K} \choose {n-x}}} \over {N \choose n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/255fa4c6e8087340685e2cf94232491f6a9e2464) |
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Media |
![{\displaystyle nK \over N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8102d083d3594d83f713661e9bd1aac72be6e4) |
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Moda |
![{\displaystyle \left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c007c65ec2a541f7c3a35b883f8605a949d32be6) |
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Varianza |
![{\displaystyle {\frac {nK}{N}}\left({\frac {N-K}{N}}\right)\left({\frac {N-n}{N-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe7b2b84160a60a40922a4e84d1c44f461d68e4) |
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Coeficiente de simetría |
![{\displaystyle {\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ec1b0c28225251fa3fd794e30bffc3eb34315e) |
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Curtosis |
![{\displaystyle +\left.{\frac {3n(N-n)(N+6)}{N^{2}}}-6\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/392caa8cb41c9b7fc33033198d6506e35730f311) |
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Función generadora de momentos (mgf) |
![{\displaystyle {\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7f06ec0cd1c3ffc74d5eba315d7a4586e0b66c) |
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Función característica |
![{\displaystyle {\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e3058b8b61e6d968f720c465ac2707cb27c593) |
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En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Suponga que se tiene una población de
elementos de los cuales,
pertenecen a la categoría
y
pertenecen a la categoría
. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener
(
) elementos de la categoría
en una muestra sin reemplazo de
elementos de la población original.
Definición
Función de Probabilidad
Una variable aleatoria discreta
tiene una distribución hipergeométrica con parámetros
,
y
y escribimos
si su función de probabilidad es
![{\displaystyle \operatorname {P} [X=x]={\frac {{K \choose x}{N-K \choose n-x}}{N \choose n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c39fa13598501acae0fc6b1838226f3bd028e7f)
para valores de
comprendidos entre
y
; donde
es el tamaño de población,
es el tamaño de la muestra extraída,
es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y
es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría.
La notación
![{\displaystyle {b \choose a}={\frac {b!}{a!(b-a)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40fb36393452fcba7fcc204d1543087d4dff8025)
hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar
elementos de un total
.
Fórmula recursiva
Si
entonces puede demostrarse que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [X=x+1]&={\frac {(K-x)(n-x)}{(x+1)(N-K-n+x-1)}}\;\operatorname {P} [X=x]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99f7609c481d7c615f5e2c08a1a133f4cd0c9c0)
Propiedades
Si
entonces
cumple algunas propiedades:
El valor esperado de la variable aleatoria
es
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {nK}{N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccba750301d827d4f8e52e1dbda489f74daa4302)
y su varianza está dada por
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {nK}{N}}{\bigg (}{\frac {N-K}{N}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {N-n}{N-1}}{\bigg )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85caca3c6a25a099e8001cbf008ef102baa8290a)
La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.
Distribuciones Relacionadas
- Si una variable aleatoria
entonces
.
- Si
entonces
cuando
y
de forma tal que
.
Véase también
Enlaces externos