Distribución logística
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad Parámetros
μ μ -->
{\displaystyle \mu \,}
localización (real )
s
>
0
{\displaystyle s>0\,}
escala (real ) Dominio
x
∈ ∈ -->
(
− − -->
∞ ∞ -->
;
+
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}
Función de densidad (pdf)
e
− − -->
(
x
− − -->
μ μ -->
)
/
s
s
(
1
+
e
− − -->
(
x
− − -->
μ μ -->
)
/
s
)
2
{\displaystyle {\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\!}
Función de distribución (cdf)
1
1
+
e
− − -->
(
x
− − -->
μ μ -->
)
/
s
{\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}\!}
Media
μ μ -->
{\displaystyle \mu \,}
Mediana
μ μ -->
{\displaystyle \mu \,}
Moda
μ μ -->
{\displaystyle \mu \,}
Varianza
π π -->
2
3
s
2
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}\!}
Coeficiente de simetría
0
{\displaystyle 0\,}
Curtosis
6
/
5
{\displaystyle 6/5\,}
Entropía
ln
-->
(
s
)
+
2
{\displaystyle \ln(s)+2\,}
Función generadora de momentos (mgf)
e
μ μ -->
t
B
(
1
− − -->
s
t
,
1
+
s
t
)
{\displaystyle e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)\!}
for
|
s
t
|
<
1
{\displaystyle |s\,t|<1\!}
, Beta function Función característica
e
i
μ μ -->
t
B
(
1
− − -->
i
s
t
,
1
+
i
s
t
)
{\displaystyle e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)\,}
for
|
i
s
t
|
<
1
{\displaystyle |ist|<1\,}
En la teoría de la probabilidad y estadística , la distribución logística es una distribución de probabilidad continua cuya función de distribución es la función logística , que aparece en el contexto de la regresión logística y determinados tipos de redes neuronales . Es similar a la distribución normal en forma pero tiene colas más pesadas (mayor curtosis ).
Especificación
Sean
X
{\displaystyle X}
una variable aleatoria continua,
μ μ -->
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }
y
s
>
0
{\displaystyle s>0}
, si
X
{\displaystyle X}
tiene una distribución logística con parámetros
μ μ -->
{\displaystyle \mu }
y
s
{\displaystyle s}
entonces escribiremos
X
∼ ∼ -->
Logistica
-->
(
μ μ -->
,
s
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Logistica} (\mu ,s)}
.
Función de densidad
Su función de densidad es:
f
X
(
x
;
μ μ -->
,
s
)
=
e
− − -->
(
x
− − -->
μ μ -->
)
/
s
s
(
1
+
e
− − -->
(
x
− − -->
μ μ -->
)
/
s
)
2
=
1
4
s
sech
2
(
x
− − -->
μ μ -->
2
s
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x;\mu ,s)&={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\\&={\frac {1}{4s}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right)\end{aligned}}}
Nótese que esta función puede expresarse en términos del cuadrado de la función secante hiperbólica , por lo que en ocasiones puede referirse a esta distribución como la distribución secante hiperbólica.
En particular, cuando
μ μ -->
=
0
{\displaystyle \mu =0}
y
s
=
1
{\displaystyle s=1}
entonces la función de densidad se reduce a
f
X
(
x
;
0
,
1
)
=
e
− − -->
x
(
1
+
e
− − -->
x
)
2
=
1
4
sech
2
(
x
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x;0,1)&={\frac {e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x}{2}}\right)\end{aligned}}}
y en tal caso decimos que se trata de la distribución logística estándar .
Función de distribución
La distribución logística recibe su nombre por su función de distribución , que pertenece a la familia de las funciones logísticas. La función de distribución de la distribución logística también es una versión escalada de la tangente hiperbólica .
F
X
(
x
;
μ μ -->
,
s
)
=
1
1
+
e
− − -->
(
x
− − -->
μ μ -->
)
/
s
=
1
2
+
1
2
tanh
(
x
− − -->
μ μ -->
2
s
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(x;\mu ,s)&={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}\\&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\;\operatorname {tanh} \!\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).\end{aligned}}}
Parametrización alterna
Si se realiza la sustitución
σ σ -->
2
=
π π -->
2
s
2
/
3
{\displaystyle \sigma ^{2}=\pi ^{2}\,s^{2}/3}
, la función de densidad queda de la forma:
g
(
x
;
μ μ -->
,
σ σ -->
)
=
f
(
x
;
μ μ -->
,
σ σ -->
3
/
π π -->
)
=
π π -->
σ σ -->
4
3
sech
2
(
π π -->
2
3
x
− − -->
μ μ -->
σ σ -->
)
.
{\displaystyle g(x;\mu ,\sigma )=f(x;\mu ,\sigma {\sqrt {3}}/\pi )={\frac {\pi }{\sigma \,4{\sqrt {3}}}}\,\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).}
Función de distribución inversa
La inversa de la función de distribución (función cuantil ) de la distribución logística es una generalización de la función logit , su derivada es llamada la función de densidad cuantil y están definidas por
F
− − -->
1
(
p
;
μ μ -->
,
s
)
=
μ μ -->
+
s
ln
-->
(
p
1
− − -->
p
)
d
F
− − -->
1
(
p
;
s
)
d
p
=
s
p
(
1
− − -->
p
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&F^{-1}(p;\mu ,s)=\mu +s\,\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right)\\&{\frac {dF^{-1}(p;s)}{dp}}={\frac {s}{p(1-p)}}\end{aligned}}}
Propiedades
Si
X
∼ ∼ -->
Logistica
-->
(
μ μ -->
,
s
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Logistica} (\mu ,s)}
entonces la variable aleatoria
X
{\displaystyle X}
satisface algunas propiedades:
La media de
X
{\displaystyle X}
es
μ μ -->
{\displaystyle \mu }
, esto es,
E
-->
[
X
]
=
μ μ -->
{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\mu }
para demostrar este resultado se parte de la definición de esperanza
E
-->
[
X
]
=
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
x
e
− − -->
(
x
− − -->
μ μ -->
)
/
s
s
(
1
+
e
− − -->
(
x
− − -->
μ μ -->
)
/
s
)
2
d
x
=
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
x
4
s
sech
2
-->
(
x
− − -->
μ μ -->
2
s
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {xe^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\;dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x}{4s}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right)dx\end{aligned}}}
haciendo el cambio de variable
u
=
(
x
− − -->
μ μ -->
)
2
s
d
u
=
1
2
s
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {(x-\mu )}{2s}}\\du&={\frac {1}{2s}}dx\end{aligned}}}
obtenemos
E
-->
[
X
]
=
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
2
s
u
+
μ μ -->
2
sech
2
-->
(
u
)
d
u
=
s
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
u
sech
2
-->
(
u
)
d
u
+
μ μ -->
2
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
sech
2
-->
(
u
)
d
u
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2su+\mu }{2}}\operatorname {sech} ^{2}(u)du\\&=s\int _{-\infty }^{\infty }u\operatorname {sech} ^{2}(u)du+{\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} ^{2}(u)du\end{aligned}}}
Nótese que la primera integral vale cero, esto es
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
u
sech
2
-->
(
u
)
d
u
=
0
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }u\operatorname {sech} ^{2}\left(u\right)du=0}
pues se está integrando una función impar sobre un intervalo simétrico por lo que
E
-->
[
X
]
=
μ μ -->
2
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
sech
2
-->
(
u
)
d
u
=
μ μ -->
2
2
=
μ μ -->
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&={\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatorname {sech} ^{2}\left(u\right)du\\&={\frac {\mu }{2}}\,2\\&=\mu \end{aligned}}}
Varianza
La varianza de
X
{\displaystyle X}
es
π π -->
2
s
2
/
3
{\displaystyle \pi ^{2}s^{2}/3}
, esto es,
Var
-->
(
X
)
=
π π -->
2
s
2
3
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\pi ^{2}s^{2}}{3}}}
Momentos de orden superior
El
n
{\displaystyle n}
-ésimo momento central puede ser expresado en términos de la función cuantil :
E
-->
[
(
X
− − -->
μ μ -->
)
n
]
=
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
(
x
− − -->
μ μ -->
)
n
d
F
(
x
)
=
∫ ∫ -->
0
1
(
F
− − -->
1
(
p
)
− − -->
μ μ -->
)
n
d
p
=
s
n
∫ ∫ -->
0
1
ln
n
(
p
1
− − -->
p
)
d
p
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}dF(x)\\&=\int _{0}^{1}\left(F^{-1}(p)-\mu \right)^{n}dp\\&=s^{n}\int _{0}^{1}\ln ^{n}\!\left({\frac {p}{1-p}}\right)dp.\end{aligned}}}
Esta integral es conocida[ 1] y puede expresarse en términos de los números de Bernouilli :
E
-->
[
(
X
− − -->
μ μ -->
)
n
]
=
s
n
π π -->
n
(
2
n
− − -->
2
)
⋅ ⋅ -->
|
B
n
|
.
{\displaystyle \operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot |B_{n}|.}
Aplicaciones
La distribución logística ha sido usada extensamente en áreas como:
Biología: para describir cómo se comportan las especies en entornos competitivos[ 2]
Epidemiología - para describir la propagación de epidemias[ 3]
Psicología - para describir el proceso de aprendizaje[ 4]
Tecnología - para describir cómo las tecnologías se popularizan y compiten entre sí[ 5]
Marketing - para estudiar la difusión de nuevos productos[ 6]
Energía - para estudiar la difusión y sustitución de unas fuentes de energía primarias por otras[ 7]
El cálculo del elo en ajedrez utiliza actualmente la distribución logística en lugar de la normal con la que fue diseñado originalmente.
Distribuciones relacionadas
Si
X
∼ ∼ -->
Logistica
-->
(
μ μ -->
,
s
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Logistica} (\mu ,s)}
entonces
k
X
+
ℓ ℓ -->
∼ ∼ -->
Logistica
-->
(
k
μ μ -->
+
ℓ ℓ -->
,
k
s
)
{\displaystyle kX+\ell \sim \operatorname {Logistica} (k\mu +\ell ,ks)}
.
Si
X
∼ ∼ -->
U
-->
(
0
,
1
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)}
entonces
μ μ -->
+
s
[
ln
-->
(
X
)
− − -->
ln
-->
(
1
− − -->
X
)
]
∼ ∼ -->
Logistica
-->
(
μ μ -->
,
s
)
{\displaystyle \mu +s[\ln(X)-\ln(1-X)]\sim \operatorname {Logistica} (\mu ,s)}
.
Si
X
∼ ∼ -->
Exponencial
-->
(
1
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Exponencial} (1)}
entonces
μ μ -->
+
s
ln
-->
(
e
X
− − -->
1
)
∼ ∼ -->
Logistica
-->
(
μ μ -->
,
s
)
{\displaystyle \mu +s\ln(e^{X}-1)\sim \operatorname {Logistica} (\mu ,s)}
.
Si
X
,
Y
∼ ∼ -->
Exponencial
-->
(
1
)
{\displaystyle X,Y\sim \operatorname {Exponencial} (1)}
entonces
μ μ -->
− − -->
s
ln
-->
(
X
Y
)
∼ ∼ -->
Logistica
-->
(
μ μ -->
,
s
)
{\displaystyle \mu -s\ln \left({\frac {X}{Y}}\right)\sim \operatorname {Logistica} (\mu ,s)}
.
Si log(X ) sigue la distribución logística, entonces X sigue la distribución log-logística y X - a la distribución log-logística desplazada .
Aplicación de la distribución logística de probabilidad acumulada a lluvias mensuales en Surinam.[ 8]
Aplicaciones
En la hidrología se presume que precipitaciones y descagas de ríos de larga duración (por ejemplo mensuales o anuales) siguen una distribución normal de acuerdo al teorema del límite central .
[ 9]
Sin embargo esta distribución require una aproximación numérica para calcular las probabilidades. Ya que la distribución logística, que se soluciona analíticamente, es semejante a la normal, esta se deja utilizar en su lugar.
La imagen azul ilustra un ejemplo del ajuste de la distribución logística a datos de lluvia mensual de octubre y muestra los intervalos de confianza basados en la distribución binomial .
Véase también
Notas
↑ (sucesión A001896 en OEIS )
↑ P. F. Verhulst, "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population", Nouveaux Mémoirs de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Bruxelles , vol. 18 (1845); Alfred J. Lotka, Elements of Physical Biology , (Baltimore, MD: Williams & Wilkins Co., 1925).
↑ Theodore Modis, Predictions: Society's Telltale Signature Reveals the Past y Forecasts the Future , Simon & Schuster, New York, 1992, pp 97-105.
↑ Theodore Modis, Predictions: Society's Telltale Signature Reveals the Past y Forecasts the Future , Simon & Schuster, New York, 1992, Chapter 2.
↑ J. C. Fisher y R. H. Pry , "A Simple Substitution Model of Technological Change", Technological Forecasting & Social Change , vol. 3, no. 1 (1971).
↑ Theodore Modis, Conquering Uncertainty , McGraw-Hill, New York, 1998, Chapter 1.
↑ Cesare Marchetti, "Primary Energy Substitution Models: On the Interaction between Energy y Society", Technological Forecasting & Social Change , vol. 10, (1977).
↑ CumFreq software para adecuación de distribuciones de probabilidad [1]
↑ Ritzema (ed.), H.P. (1994). Frequency and Regression Analysis . Chapter 6 in: Drainage Principles and Applications, Publication 16, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands. pp. 175-224. ISBN 90-70754-33-9 .
Referencias
N., Balakrishnan (1992). Handbook of the Logistic Distribution . Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8 .
Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Continuous Univariate Distributions . Vol. 2 (2nd Ed. edición). ISBN 0-471-58494-0 .