Este artículo trata sobre espacios de Fréchet en análisis funcional. Para espacios de Fréchet en topología general, véase
Espacio T1.
En análisis funcional y áreas relacionadas de matemáticas, los espacios Fréchet, que llevan el nombre de Maurice Fréchet, son espacios vectoriales topológicos especiales.
Son generalizaciones de espacios de Banach (espacio vectorial normado que es completo con respecto a la métrica inducida por la norma). Todos los espacios de Banach y de Hilbert son espacios de Fréchet.
Los espacios de funciones infinitamente diferenciables son ejemplos típicos de espacios de Fréchet, muchos de los cuales son típicamente espacios que no son de Banach.
Un espacio de Fréchet
se define como un localmente convexo espacio vectorial topológico (EVT) metrizable que es completo como EVT, lo que significa que cada sucesión de Cauchy en
converge en algún punto en
(consúltese la nota al pie para obtener más detalles).[nota 1]
- Nota importante: No todos los autores requieren que un espacio de Fréchet sea localmente convexo (discutido más abajo).
La topología de todo espacio de Fréchet es inducida por algún simetría traslacional métrico completo.
Por el contrario, si la topología de un espacio localmente convexo
es inducida por una métrica completa invariante en la traslación, entonces
es un espacio de Fréchet.
Fréchet fue el primero en usar el término "espacio de Banach" y Banach, a su vez, acuñó el término "espacio de Fréchet" para referirse a espacios vectoriales topológicos metrizables completos, sin el requisito de convexidad local (dicho espacio hoy en día a menudo se llama F-espacio).
La condición de localmente convexo fue añadida posteriormente por Nicolas Bourbaki.
Es importante tener en cuenta que un número considerable de autores (por ejemplo, Schaefer) usan el término F-espacio para referirse a un espacio de Fréchet (localmente convexo), mientras que otros no requieren que un espacio de Fréchet sea localmente convexo.
Además, algunos autores incluso usan "F-espacio" y "espacio de Fréchet" indistintamente.
Al consultar literatura matemática, se recomienda que el lector verifique siempre si la definición del libro o artículo de "F-espacio" y de "espacio de Fréchet" requiere o no convexidad local.
Definiciones
Los espacios de Fréchet se pueden definir de dos formas equivalentes: el primero emplea una métrica de invariante a la traslación, y el segundo una familia de seminormas numerable.
Definición métrica invariante
Un espacio vectorial topológico
es un espacio de Fréchet si y solo si satisface las siguientes tres propiedades:
- Es un espacio localmente convexo.[nota 2]
- Su topología puede ser inducida por una métrica invariante a la traslación, es decir, una métrica
tal que
para todo
Esto significa que un subconjunto
de
es abierto si y solo si para cada
existe un
tal que
es un subconjunto de ![{\displaystyle U.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a305ef479ab152035f334467a2c314baa23eb36)
- Algunas (o de manera equivalente, todas) las métricas invariantes a la traslación en
que inducen la topología de
son completas.
- Suponiendo que se cumplan las otras dos condiciones, esta condición es equivalente a que
sea un espacio vectorial topológico completo, lo que significa que
es un espacio uniforme completo cuando está dotado de su uniformidad canónica (esta uniformidad canónica es independiente de cualquier métrica en
y se define completamente en términos de sustracción de vectores y entornos del origen de
; además, la uniformidad inducida por cualquier métrica invariante a la traslación (que define la topología) en
es idéntica a esta uniformidad canónica).
Debe tenerse en cuenta que no existe una noción natural de distancia entre dos puntos de un espacio de Fréchet: muchas métricas invariantes a la traslación diferentes pueden inducir la misma topología.
Definición de familia contable de seminormas
La definición alternativa y algo más práctica es la siguiente: un espacio vectorial topológico
es un espacio de Fréchet si y solo si satisface las siguientes tres propiedades:
- Es un espacio de Hausdorff
- Su topología puede ser inducida por una familia contable de seminormas
. Esto significa que un subconjunto
es abierto si y solo si para cada
existe
y
tal que
es un subconjunto de ![{\displaystyle U,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c21c569e498e0197798e3428b2bc6f25c0a457)
- Es completo con respecto a la familia de seminormas.
- Suponiendo que se cumplan las otras dos condiciones, esta condición es equivalente a que
sea un espacio vectorial topológico completo, lo que significa que
es un espacio uniforme completo cuando está dotado de su uniformidad canónica (esta uniformidad canónica es independiente de cualquier métrica en
y se define completamente en términos de la resta de vectores y los entornos del origen de
; además, la uniformidad inducida por cualquier métrica invariante a la traslación (que define la topología) en
es idéntica a esta uniformidad canónica).
Debe tenerse en cuenta que no existe una noción natural de distancia entre dos puntos de un espacio de Fréchet: muchas métricas invariantes a la traslación diferentes pueden inducir la misma topología.
Como espacios de Baire tejidos
Comparación con los espacios de Banach
A diferencia de los espacios de Banach, la métrica completa invariante a la traslación no necesita surgir de una norma.
Sin embargo, la topología de un espacio de Fréchet surge tanto de una paranorma total como de una F-norma (la "F" significa de Fréchet).
Aunque el espacio topológico de los espacios de Fréchet es más complicado que el de los espacios de Banach debido a la posible falta de una norma, aún se mantienen muchos resultados importantes en el análisis funcional, como el teorema de la función abierta, el teorema de la gráfica cerrada y el teorema de Banach-Steinhaus.
Construcción de espacios de Fréchet
Recuerde que una seminorma
es una función de un espacio vectorial
a los números reales que satisfacen tres propiedades.
Para todos los
y todos los escalares
Si
, entonces
es de hecho una norma.
Sin embargo, las seminormas son útiles porque nos permiten construir espacios de Fréchet, como sigue:
Para construir un espacio de Fréchet, normalmente se comienza con un espacio vectorial
y se define una familia contable de seminormas
en
con las siguientes dos propiedades:
- si
y
para todos los
entonces
;
- si
es una secuencia en
que es Cauchy con respecto a cada seminorma
entonces existe
tal que
converge a
con respecto a cada seminorma ![{\displaystyle \|\cdot \|_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080e9a1e6a6c227fccb1f22c81de8130cda9fbf8)
Luego, la topología inducida por estas seminormas (como se explicó anteriormente) convierte a
en un espacio de Fréchet; la primera propiedad asegura que es Hausdorff y la segunda propiedad asegura que está completa.
Una métrica completa invariante en la traducción que induce la misma topología en
se puede definir mediante
La función
asigna
monótonamente a
y, por lo tanto, la definición anterior garantiza que
es "pequeño" si y solo si existe
"grande", de modo que
es "pequeño" para
.
Ejemplos
En análisis funcional puro
- Todo espacio de Banach es un espacio de Fréchet, ya que la norma induce una métrica invariante a la traducción y el espacio es completo con respecto a esta métrica.
- El espacio
de todas las secuencias de valor real se convierte en un espacio de Fréchet si se define la seminorma
-ésima de una secuencia como el valor absoluto del elemento
-ésimo de la secuencia. La convergencia en este espacio de Fréchet es equivalente a la convergencia de elementos.
En variedades suaves
- El espacio vectorial
de todas las funciones infinitamente diferenciables
se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas
- para cada entero no negativo
Aquí,
denota la
-ésima derivada de
y
En este espacio de Fréchet, una secuencia
de funciones converge hacia el elemento
si y solo si para cada entero no negativo
la secuencia
converge uniformemente .
- El espacio vectorial
de todas las funciones infinitamente diferenciables
se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas
- para todos los enteros
Entonces, una sucesión de funciones
converge si y solo si para todo
las sucesiones
convergen compactamente.
- El espacio vectorial
de todas las funciones continuamente diferenciables
-tiempos
se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas
- para todos los enteros
y ![{\displaystyle k=0,\ldots ,m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6936fa4c0aec027f1252f16ede0954fc005978)
- Si
es una variedad
compacta y
es un espacio de Banach, entonces el conjunto
de todas las funciones infinitamente diferenciables
se puede convertir en un espacio de Fréchet usando como seminormas la suprema de las normas de todas las derivadas parciales. Si
es una variedad
(no necesariamente compacta) que admite una secuencia numerable
de subconjuntos compactos, de modo que cada subconjunto compacto de
está contenido en al menos un
, entonces los espacios
y
también son espacios de Fréchet de manera natural.
- Como caso especial, cada variedad completa suave de dimensión finita
se puede convertir en una unión anidada de subconjuntos compactos: equípese con una variedad de Riemann
que induce una métrica
, elíjase
; y entonces ![{\displaystyle K_{n}=\{y\in M:d(x,y)\leq n\}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaaf74332dd2678e2111ec88b0c979818496be2)
- Sea
una
-variedad compacta y
un fibrado vectorial sobre
Sea
el espacio de secciones uniformes de
sobre
Elíjanse métricas y conexiones riemannianas, cuya existencia está garantizada, en los haces
y
Si
es una sección, denótese su derivada covariante jth por
Entonces
- (donde
es la norma inducida por la métrica de Riemann) es una familia de seminormas que convierten a
en un espacio de Fréchet.
En espacios de funciones holomorfas
- Sea
el espacio de funciones enteras (en todas partes holomorfas) en el plano complejo. Entonces la familia de seminormas
- convierte
en un espacio Fréchet.
- Sea
el espacio de funciones enteras (holomorfas en todas partes) de tipo exponencial
Entonces, la familia de seminormas
- convierte
en un espacio de Fréchet.
- No todos los espacios vectoriales con métricas invariantes de traducción completas son espacios de Fréchet. Un ejemplo es el espacio
con ![{\displaystyle p<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5457a2916682e9db360e9a2e21f1fe84fd5643e2)
- Aunque este espacio no es localmente convexo, es un F-espacio.
Propiedades y otras nociones
Si un espacio de Fréchet admite una norma continua, entonces todas las seminormas utilizadas para definirlo pueden ser reemplazadas por normas añadiendo esta norma continua a cada una de ellas.
Un espacio de Banach,
con
compacto, y
todos admiten normas, mientras que
y
no lo hacen.
Un subespacio cerrado de un espacio de Fréchet es un espacio de Fréchet. Un cociente de un espacio de Fréchet por un subespacio cerrado es un espacio de Fréchet. La suma directa de un número finito de espacios de Fréchet es un espacio de Fréchet.
Un producto de numerosos espacios de Fréchet contables vuelve a ser siempre un espacio Fréchet. Sin embargo, un producto arbitrario de espacios de Fréchet será un espacio de Fréchet si y solo si todos "excepto algunos" de ellos son triviales (es decir, tienen dimensión 0). En consecuencia, un producto de innumerables espacios de Fréchet no triviales no puede ser un espacio de Fréchet (de hecho, dicho producto ni siquiera es metrizable porque su origen no puede tener una base de entorno contable). Entonces, por ejemplo, si
es cualquier conjunto y
es cualquier espacio de Fréchet no trivial (como
, por ejemplo), entonces el producto
es un espacio de Fréchet si y solo si
es un conjunto contable.
Varias herramientas importantes de análisis funcional que se basan en el teorema de categorías de Baire siguen siendo válidas en los espacios de Fréchet; ejemplos son el teorema de la gráfica cerrada y el teorema de la función abierta. Precisamente, el
teorema de la función abierta implica que si
son topologías en
que convierten tanto
como
en espacios vectoriales topológicos completos metrizables (como los espacios de Fréchet) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si
).
Todo operador lineal acotado de un espacio de Fréchet a otro espacio vectorial topológico es continuo.
Existe un espacio de Fréchet
que tiene un subconjunto acotado
y también un subespacio vectorial denso
tal que
no está contenido en el cierre (en
) de ningún subconjunto acotado de
.
Todos los espacios de Fréchet son reflexivos. En la teoría de los espacios estereotipados, los espacios de Fréchet son objetos duales de los espacios de Brauner.
Todos los espacios de Montel metrizables son separables. Un espacio de Fréchet separable es un espacio de Montel si y solo si cada secuencia convergente débil-* en su dual continuo es fuertemente convergente.
El espacio dual fuerte
de un espacio de Fréchet (y más generalmente, de cualquier espacio metrizable localmente convexo)
es un DF-espacio.[8]
El dual fuerte de un espacio DF es un espacio de Fréchet.
El dual fuerte de un espacio de Fréchet reflexivo es un espacio bornológico y un espacio de Ptak. Todo espacio de Fréchet es un espacio de Ptak.
El bidual fuerte (es decir, el espacio dual fuerte del espacio dual fuerte) de un espacio metrizable localmente convexo es un espacio de Fréchet.
Normas y normabilidad
Si
es un espacio localmente convexo, entonces la topología de
puede ser definida por una familia de normas continuas en
(una norma es una seminorma definida positiva) si y solo si existe al menos una norma continua en
Incluso si un espacio de Fréchet tiene una topología que está definida por una familia (contable) de normas (todas las normas también son seminormas), es posible que aún no sea un espacio vectorial normado (lo que significa que su topología no puede ser definida por ninguna norma única).
El espacio de todas las secuencias
(con la topología del producto) es un espacio de Fréchet. No existe ninguna topología de Hausdorff localmente convexa en
que sea estrictamente más gruesa que esta topología del producto.
El espacio
no es normable, lo que significa que su topología no puede ser definida por ninguna norma. Además, no existe ninguna norma continua sobre
. De hecho, como muestra el siguiente teorema, siempre que
es un espacio de Fréchet en el que no existe ninguna norma continua, esto se debe enteramente a la presencia de
como subespacio.
Si
es un espacio de Fréchet no normable en el que existe una norma continua, entonces
contiene un subespacio vectorial cerrado que no tiene complemento topológico.
Un espacio espacio localmente convexo metrizable es normable si y solo si su espacio dual fuerte es un espacio de Fréchet–Urysohn localmente convexo.[8] En particular, si un espacio metrizable localmente convexo
(como un espacio de Fréchet) es no normable (lo que solo puede suceder si
es de dimensión infinita), entonces su espacio dual fuerte
no es un espacio de Fréchet-Urysohn y, en consecuencia, este espacio de Hausdorff completo localmente convexo
tampoco es metrizable ni normable.
El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet (y más generalmente de los espacios bornológicos como los espacios vectoriales topológicos metrizables) es siempre un espacio vectorial topológico completo y, por lo tanto, como cualquier espacio vectorial topológico completo, es normable si y solo si su topología puede ser inducida por un espacio de Banach (es decir, si y solo si se puede convertir en un espacio de Banach que tenga la misma topología).
Si
es un espacio de Fréchet, entonces
es normable si (y solo si) existe una norma completa en su espacio dual continuo
tal que la topología inducida por la norma en
es más fina que la topología débil-*.[14]
En consecuencia, si un espacio de Fréchet es no normal (lo que solo puede suceder si es de dimensión infinita), entonces tampoco lo es su espacio dual fuerte.
Teorema de Anderson-Kadec
Debe tenerse en cuenta que el homeomorfismo descrito en el teorema de Anderson-Kadec es no necesariamente lineal.
Teorema de Eidelheit: Un espacio de Fréchet es isomorfo a un espacio de Banach o tiene un espacio cociente isomorfo a
|
Diferenciación de funciones
Si
y
son espacios Fréchet, entonces el espacio
que consta de todas las aplicaciones lineales continuas desde
hasta
no es un espacio de Fréchet de cualquier manera natural. Esta es una gran diferencia entre la teoría de los espacios de Banach y la de los espacios de Fréchet y requiere una definición diferente para la diferenciabilidad continua de las funciones definidas en los espacios de Fréchet, la derivada de Gateaux:
Supóngase que
es un subconjunto abierto de un espacio de Fréchet
es una función valorada en un espacio de Fréchet
y
La aplicación
es diferenciable en
en la dirección
si existe el límite
![{\displaystyle D(P)(x)(h)=\lim _{t\to 0}\,{\frac {1}{t}}\left(P(x+th)-P(x)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dce2114c938a85c6837ec9dbd20179b598a603d0)
Se dice que la aplicación
es continuamente diferenciable en
si la siguiente aplicación
es continua. Dado que el producto de los espacios de Fréchet es nuevamente un espacio de Fréchet, se puede intentar diferenciar
y definir las derivadas superiores de
de esta manera.
El operador derivada
definido por
es en sí mismo infinitamente diferenciable. La primera derivada está dada por
![{\displaystyle D(P)(f)(h)=h'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a55c31f426ef5a72cc267ddcc063a39fb6b3cd)
para dos elementos cualesquiera
Esta es una gran ventaja del espacio de Fréchet
sobre el espacio de Banach
para
finito.
Si
es una función continuamente diferenciable, entonces la ecuación diferencial
![{\displaystyle x'(t)=P(x(t)),\quad x(0)=x_{0}\in U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92383e4dae70fde6a0087fbe7337abe597f63d19)
no necesita tener ninguna solución, e incluso si la tiene, las soluciones no necesitan ser únicas. Este hecho está en marcado contraste con la situación en los espacios de Banach. En general, el teorema de la función inversa no es cierto en los espacios de Fréchet, aunque un sustituto parcial es el teorema de Nash-Moser.
Variedades de Fréchet y grupos de Lie
Se pueden definir variedades de Fréchet como espacios que "se parecen localmente" a espacios de Fréchet (al igual que las variedades ordinarias se definen como espacios que se parecen localmente a un espacio euclídeo
), y luego se puede extender el concepto de grupo de Lie a estas variedades.
Esto es útil porque para una variedad
compacta (ordinaria) dada
, el conjunto de todos los
difeomorfismos
forma un grupo de Lie generalizado en este sentido, y este grupo de Lie captura las simetrías de
.
Algunas de las relaciones entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie siguen siendo válidas en este contexto.
Otro ejemplo importante de un grupo de Fréchet-Lie es el grupo de bucle de un grupo de Lie compacto
, las aplicaciones suaves (
)
multiplicadas puntualmente por
[15][16]
Generalizaciones
Si se elimina el requisito de que el espacio sea localmente convexo, se obtiene los F-espacios: espacios vectoriales con métricas completas invariantes respecto a la traslación.
Los LF-espacios son límites inductivos contables de los espacios de Fréchet.
Véase también
Notas
- ↑ Aquí el término "de Cauchy" hace referencia a la uniformidad canónica que poseen todos los espacios vectoriales topológicos. Es decir, una secuencia
en un espacio vectorial topológico
es de Cauchy si y solo si para todos los entornos
del origen en
siempre que
y
sean suficientemente grandes. Debe tenerse en cuenta que esta definición de una secuencia de Cauchy no depende de ninguna métrica en particular y ni siquiera requiere que
sea metrizable.
- ↑ Algunos autores no incluyen la convexidad local como parte de la definición de un espacio de Fréchet.
Referencias
Bibliografía
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