Sea A {\displaystyle A} una matriz con m {\displaystyle m} filas y n {\displaystyle n} columnas. La matriz traspuesta, denotada con A t {\displaystyle A^{t}} .[1][2]
Está dada por:
En donde el elemento a j i {\displaystyle a_{ji}} de la matriz original A {\displaystyle A} se convertirá en el elemento a i j {\displaystyle a_{ij}} de la matriz traspuesta A t {\displaystyle A^{t}} .
Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:
[ 0 0 4 1 0 4 0 1 0 0 3 2 0 2 3 0 3 4 3 3 1 ] t = [ 0 1 0 0 0 0 3 0 0 1 3 2 3 3 4 4 0 2 3 4 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&4\\1&0&4\\0&1&0\\0&3&2\\0&2&3\\0&3&4\\3&3&1\end{bmatrix}}^{t}\quad =\quad {\begin{bmatrix}0&1&0&0&0&0&3\\0&0&1&3&2&3&3\\4&4&0&2&3&4&1\end{bmatrix}}}
( A t ) t = ( ( a i j ) i j t ) t = ( ( a j i ) i j ) t = ( a i j ) i j = A {\displaystyle (A^{t})^{t}=\left(\left(a_{ij}\right)_{ij}^{t}\right)^{t}=\left(\left(a_{ji}\right)_{ij}\right)^{t}=\left(a_{ij}\right)_{ij}=A} ∎
( A + B ) t = ( c i j ) i j t = ( c j i ) i j = ( a j i + b j i ) i j = ( a j i ) i j + ( b j i ) i j = A t + B t {\displaystyle (A+B)^{t}=\left(c_{ij}\right)_{ij}^{t}=\left(c_{ji}\right)_{ij}=\left(a_{ji}+b_{ji}\right)_{ij}=\left(a_{ji}\right)_{ij}+\left(b_{ji}\right)_{ij}=A^{t}+B^{t}} ∎
c A = c ( a i j ) i j = ( c a i j ) i j {\displaystyle cA=c\left(a_{ij}\right)_{ij}=\left(ca_{ij}\right)_{ij}}
sea dij = c aij, con esta notación se tiene c A = (dij)ij, por trasposición queda
( c A ) t = ( d i j ) i j t = ( d j i ) i j = ( c a j i ) i j = c A t {\displaystyle (cA)^{t}=\left(d_{ij}\right)_{ij}^{t}=\left(d_{ji}\right)_{ij}=\left(ca_{ji}\right)_{ij}=cA^{t}} ∎
c i j = ∑ ∑ --> k = 1 r a i k b k j {\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{r}a_{ik}b_{kj}}
por trasposición queda
c j i = ∑ ∑ --> k = 1 r a j k b k i = ∑ ∑ --> k = 1 r b k i a j k {\displaystyle c_{ji}=\sum _{k=1}^{r}a_{jk}b_{ki}=\sum _{k=1}^{r}b_{ki}a_{jk}}
que coincide con la definición de producto para Bt At∎
es semidefinida positiva.
x t A t A x = ( A x ) t A x = ‖ ‖ --> A x ‖ ‖ --> 2 {\displaystyle x^{t}A^{t}Ax=(Ax)^{t}Ax=\|Ax\|^{2}}
de las propiedades de la norma se deduce xt At A x ≥ 0 para todo x, luego At A es semidefinida positiva. ∎
Una matriz cuadrada A {\displaystyle A} es simétrica si coincide con su traspuesta:
Una matriz cuadrada A {\displaystyle A} es antisimétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.
Si los elementos de la matriz A {\displaystyle A} son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.
y antihermítica si
Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).