En el estudio de campos fermiónicos en teoría cuántica de campo, Richard Feynman inventó la notación de slash. Si A es un vector covariante (es decir, una 1-forma),
![{\displaystyle A\!\!\!/\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \gamma ^{\mu }A_{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af9b9f770387d8452cd36bf6c50106192971a27)
donde hemos usado el convenio de suma de Einstein y
son las matrices gamma.
Identidades
Usando las reglas de anticonmutación de las matrices gamma, se puede mostrar que, para cualquier
y
, se verifica que
![{\displaystyle a\!\!\!/a\!\!\!/=a^{\mu }a_{\mu }=a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f944fd6950f75bbc54797a06cb595b399a7a99)
.
![{\displaystyle a\!\!\!/^{+}=\gamma ^{0}a\!\!\!/\gamma ^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/413e4d6b70e372e043026f3e3b42a0108a389d92)
En particular,
![{\displaystyle \partial \!\!\!/^{2}=\partial ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/385cbb3506e2bfebad16891e6a5dab7d1e540b15)
Se pueden obtener diferentes identidades a partir de las distintas identidades de las matrices gamma al reemplazar el tensor métrico por productos interiores (o producto escalar). Por ejemplo,
![{\displaystyle \operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/)=4a\cdot b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d260d9517af00c7fb276abd20bc3cba21f395cfd)
![{\displaystyle \operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e6cc3a21d7e7d37b0ac854b6f0ff709cc0bb681)
![{\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma _{5}a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4i\epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132731a22925ad4030bc433d602321924ba3872c)
.
![{\displaystyle \gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/\gamma ^{\mu }=4a\cdot b\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef8e8ca475f6a47e19db5afe03926a0d83e9931)
![{\displaystyle \gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2c\!\!\!/b\!\!\!/a\!\!\!/\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8428e60b824592097bad20f524798eae5ee7008f)
donde
es el símbolo de Levi-Civita.
Cuadrimomento
A menudo, cuando se trabaja con la ecuación de Dirac, se usa la notación de slash para el cuadrimomento:
Utilizando la base de Dirac para las matrices
,
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ab3a749d92954da28864c7e600b905f1eb086d)
así como la definición del cuadrimomento
![{\displaystyle p_{\mu }=\left(E,-p_{x},-p_{y},-p_{z}\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2577dd961ebf0ecc444cffe91f05e6ea5b5f5e)
se ve explícitamente que
![{\displaystyle {\begin{aligned}p\!\!/&=\gamma ^{\mu }p_{\mu }=\gamma ^{0}p_{0}+\gamma ^{i}p_{i}\\&={\begin{bmatrix}p_{0}&0\\0&-p_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{i}p_{i}\\-\sigma ^{i}p_{i}&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}E&-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}&-E\end{bmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd1dc8103aeb336e0ae4db780f677ea95d9cc13d)
Se obtienen resultados similares en otras bases, como en la base de Weyl.
Véase también
Referencias