En matemáticas, el producto interior (también conocido como derivada interior, multiplicación interior, operador de inserción o derivación interna) es una (anti)derivación de grado−1 en el álgebra exterior de formas diferenciales en una variedad diferenciable. El producto interior, nombrado así en oposición al producto exterior, no debe confundirse con un espacio prehilbertiano. El producto interior ιXω a veces se escribe como X ⨼ ω.[1]
Definición
El producto interior se define como la contracción de una forma diferencial con un campo vectorial. Por tanto, si X es un campo vectorial en una variedad M, entonces
![{\displaystyle \iota _{X}\colon \Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3730939b412b118b52737a42016646f1f44cbcae)
es la aplicación que envía una p-forma ω a la (p−1)-forma ιXω definida por la propiedad de que
![{\displaystyle (\iota _{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{p-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{p-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795e7a6d2e62744223a7863f234cc6437a15e97d)
para cualquier campo vectorial X1, ..., Xp−1.
El producto interior es la única antiderivación de grado −1 en el álgebra exterior, de modo que en uno-formas α
,
donde ⟨ , ⟩ es el emparejamiento dual entre α y el vector X. Explícitamente, si β es una forma p, entonces
![{\displaystyle \iota _{X}(\beta \wedge \gamma )=(\iota _{X}\beta )\wedge \gamma +(-1)^{p}\beta \wedge (\iota _{X}\gamma ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5fb1e31268ff5e6061314a6f3d1ba26c2c4d7c)
La relación anterior indica que el producto interior obedece a una regla de Leibniz calificada. Una operación que satisface la linealidad junto con una regla de Leibniz se llama derivación.
Propiedades
Por antisimetría de formas,
![{\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bcfbfa51d99375192dde1b0f6ea067703c74e63)
y entonces
. Esto se puede comparar con la derivada exterior d, que tiene la propiedad de que d ∘ d = 0.
El producto interior relaciona la derivada exterior y la derivada de Lie de formas diferenciales por la fórmula de Cartan (también conocida como identidad de Cartan , fórmula de homotopía de Cartan[2] o fórmula mágica de Cartan):
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5634b4594cddc2fd4dd20060d7b675b4acba4d92)
Esta identidad define una dualidad entre las derivadas exterior e interior. La identidad de Cartan es importante en topología simpléctica y relatividad general: consúltese la aplicación momento.[3] La fórmula de homotopía de Cartan lleva el nombre de Élie Cartan.[4]
El producto interior con respecto al conmutador de dos campos vectoriales
,
satisface la identidad
![{\displaystyle \iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3919c1420555be30db095062065188a373effd92)
Véase también
Referencias
Bibliografía
- Theodore Frankel, The Geometry of Physics: An Introduction; Cambridge University Press, 3rd ed. 2011
- Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, 2e, Springer. 2011. doi 10.1007/978-1-4419-7400-6