Proyección de a sobre b (a1), y resto de a respecto a b (a2)Cuando 90° < θ ≤ 180°, a1 tiene una dirección opuesta con respecto a b
La proyección vectorial (también conocida como componente vectorial o resolución vectorial) de un vectora sobre (o respecto a) un vector b distinto de cero, a veces denotado como , es el operador de proyección de a sobre una recta paralela a b. Es un vector paralelo a b, formulado como , donde es un escalar, llamado proyección escalar de a sobre b, y b̂ es el vector unitario en la dirección de b.
A su vez, la proyección escalar se define como:[1]
La proyección escalar es igual en valor absoluto a la longitud de la proyección vectorial, con un signo menos si la dirección de la proyección es opuesta a la dirección de b, es decir, si los dos vectores se encuentran en semiespacios diferentes, o si las direcciones de ambos se encuentran en diferentes hemisferios.
La proyección vectorial se puede reescribir en términos únicamente de los vectores de entrada como:
El componente vectorial o vector resuelto de aperpendicular a b, a veces también llamado vector resto (traducción aproximada del término inglés "vector rejection") de adeb (denotado ),[2] es la proyección ortogonal de a sobre el plano (o, en general, hiperplano) ortogonal a b. Como tanto la proyección a1 como el resto a2 de un vector a son vectores y su suma es igual a a, esto implica que el resto viene dado por:
Notación
Normalmente, una proyección vectorial se indica en negrita (por ejemplo, a1) y la proyección escalar correspondiente con fuente normal (por ejemplo, a1). En algunos casos, especialmente en escritura a mano, la proyección vectorial también se indica usando un signo diacrítico encima o debajo de la letra (por ejemplo, o a1). La proyección vectorial de a sobre b y el resto correspondiente a veces se denotan por a∥b y a⊥b, respectivamente.
La proyección escalar de a sobre b es un escalar igual a:
donde θ es el ángulo entre a y b.
Se puede utilizar una proyección escalar como factor de escala para calcular la proyección vectorial correspondiente.
Proyección vectorial
La proyección vectorial de a sobre b es un vector cuya magnitud es la proyección escalar de a sobre b con la misma dirección que b. Es decir, se define como
donde es la proyección escalar correspondiente, como se definió anteriormente, y es el vector unitario con la misma dirección que b:
Resto vectorial
Por definición, el vector resto de a sobre b es:
y por lo tanto:
Definiciones en términos de a y b
Cuando no se conoce θ, el coseno de θ se puede calcular en términos de a y b, mediante la siguiente propiedad del producto escalara ⋅ b
La proyección escalar de a sobre b es un escalar que tiene signo negativo si 90 degrees < θ ≤ 180 degrees. Coincide con la longitud‖c‖ de la proyección del vector si el ángulo es menor que 90°. Más exactamente:
a1= ‖a1‖ si (0° ≤ θ < 90°),
a1= 0 si (θ = 90°),
a1= −‖a1‖ si (90° < θ ≤ 180°).
Proyección vectorial
La proyección vectorial de a sobre b es un vector a1 que es nulo o paralelo a b. Más exactamente:
a1= 0 si θ= 90°,
a1 y b tienen la misma dirección si 0° ≤ θ < 90°,
a1 y b tienen direcciones opuestas si 90° < θ ≤ 180°.
Resto vectorial
El vector resto de a en b es un vector a2 que es nulo u ortogonal a b. Más exactamente:
a2= 0 si θ= 0° o θ= 180°,
a2 es ortogonal a b si (0 < θ < 180°),
Representación matricial
La proyección ortogonal se puede representar mediante una matriz de proyección. Para proyectar un vector sobre el vector unitario a= (ax, ay, az), sería necesario multiplicarlo por esta matriz de proyección:
Dado que las nociones de longitud de un vector y de ángulo entre vectores se pueden generalizar a cualquier espacio prehilbertiano de n dimensiones, esto también es válido para las nociones de proyección ortogonal de un vector, proyección de un vector sobre otro y resto de un vector respecto a otro.
En algunos casos, el producto interno coincide con el producto escalar. Cuando no coinciden, se utiliza el producto interior en lugar del producto escalar en las definiciones formales de proyección y resto. Para un espacio prehilbertiano tridimensional, las nociones de proyección de un vector sobre otro y de resto de un vector respecto a otro pueden generalizarse a las nociones de proyección de un vector sobre un plano y resto de un vector sobre un plano.[5] La proyección de un vector respecto a un plano es su operador de proyección en ese plano. El resto de un vector respecto a un plano es su proyección ortogonal sobre una recta ortogonal al plano dado. Ambos son vectores. El primero es paralelo al plano, y el segundo es ortogonal al plano.
Para un vector y un plano dados, la suma de proyección y resto es igual al vector original. De manera similar, para espacios de productos internos con más de tres dimensiones, las nociones de proyección sobre un vector y de resto respecto a un vector pueden generalizarse a las nociones de proyección sobre un hiperplano y de resto respecto a un hiperplano. En álgebra geométrica, se pueden generalizar aún más a las nociones de proyección y resto de un multivector general hacia/desde cualquier k-lámina invertible.