En matemática , el seno es una de las seis funciones trigonométricas , llamadas también funciones circulares ;[ 1] es una función real e impar cuyo dominio es
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(el conjunto de los números reales) y cuyo codominio es el intervalo cerrado
[
− − -->
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
:
sin
:
R
⟶ ⟶ -->
[
− − -->
1
,
1
]
x
⟼ ⟼ -->
sin
-->
(
x
)
{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\sin :&\mathbb {R} &\longrightarrow &[-1,1]\\&x&\longmapsto &\sin(x)\end{array}}}
se denota
f
(
x
)
=
sin
-->
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sin(x)}
para todo
x
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
. El nombre se abrevia a veces como sen en la forma española y sin en las formas latina e inglesa.[ 2] [ 3] [ 4]
Etimología
El astrónomo y matemático indio Aria Bhatta (476–550 d. C.) estudió el concepto de «seno» con el nombre sánscrito de ardhá-jya ,[ 5] siendo अर्ध ardha: «mitad, medio», y ज्या jya: «cuerda»). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al árabe , se referían a este término como جِيبَ jiba . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado jb . Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir «bahía», «cavidad» o «seno»).
A finales del siglo XII , el traductor italiano Gerardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazando el insensato jiab por su contraparte latina sinus (‘hueco, cavidad, bahía, seno’).
Luego, ese sinus se convirtió en el español «seno».[ 6]
Según otra explicación,[cita requerida ] la cuerda de un círculo se denomina en latín inscripta corda o simplemente inscripta . La mitad de dicha cuerda se llama semis inscriptae . Su abreviatura era s. ins. , que terminó simplificada como sins . Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó sinus .
Definición
El seno de α es la razón
a
c
=
B
C
A
B
{\displaystyle {\tfrac {a}{c}}={\tfrac {BC}{AB}}}
En trigonometría , el seno de un ángulo
α α -->
{\displaystyle \alpha \,}
de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa :
sin
-->
α α -->
=
a
c
=
B
C
A
B
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}}={\frac {BC}{AB}}}
Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo
α α -->
.
{\displaystyle \alpha .}
Si
B
{\displaystyle B}
pertenece a la circunferencia goniométrica , es decir, la circunferencia de radio uno con
O
=
A
{\displaystyle O=A}
se tiene:
sin
-->
α α -->
=
a
=
B
C
{\displaystyle \sin \alpha =a=BC\,}
Ya que
c
=
A
B
=
1
{\displaystyle c=AB=1}
.
Esta construcción permite representar el valor del seno para ángulos agudos (no obtusos) y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector
A
B
→ → -->
{\displaystyle {\vec {AB}}}
mediante su descomposición en los vectores ortogonales
A
C
→ → -->
{\displaystyle {\vec {AC}}}
y
C
B
→ → -->
{\displaystyle {\vec {CB}}}
.
Relaciones trigonométricas
El seno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas .
El seno es una función impar , es decir:
sin
(
− − -->
x
)
=
− − -->
sin
-->
(
x
)
{\displaystyle \sin \;(-x)=-\sin(x)}
El seno es una función periódica de periodo
2
π π -->
{\displaystyle 2\pi }
,
sin
α α -->
=
sin
(
α α -->
+
2
k
π π -->
)
,
k
∈ ∈ -->
Z
{\displaystyle \sin \;\alpha =\;\;\;\sin \;(\alpha +2k\pi ),\;\;k\in \mathbb {Z} }
Por inducción ya que aplicando un número par de veces
sin
α α -->
=
− − -->
sin
-->
(
α α -->
+
π π -->
)
{\displaystyle \sin \;\alpha =-\sin(\alpha +\pi )}
se llega a todos los valores de k.
En función del coseno
La curva del coseno es la curva del seno desplazada
π π -->
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:
sin
-->
α α -->
=
cos
-->
(
α α -->
− − -->
π π -->
2
)
{\displaystyle \sin \alpha =\cos \left(\alpha -{\frac {\pi }{2}}\right)}
Además, como la función coseno comparte la misma periodicidad
2
π π -->
{\displaystyle 2\pi }
, es posible generalizar a:
sin
-->
α α -->
=
cos
-->
(
α α -->
+
(
4
k
+
1
)
π π -->
2
)
,
k
∈ ∈ -->
Z
{\displaystyle \sin \alpha =\cos \left(\alpha +{\frac {(4k+1)\pi }{2}}\right),\quad k\in \mathbb {Z} }
Como
sin
2
-->
α α -->
+
cos
2
-->
α α -->
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}
, despejando
sin
-->
α α -->
{\displaystyle \sin {\alpha }}
se obtiene:
|
sin
-->
α α -->
|
=
1
− − -->
cos
2
-->
α α -->
{\displaystyle |\sin \alpha |={\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}}
En función de la tangente
sin
-->
α α -->
=
sin
-->
α α -->
1
⋅ ⋅ -->
1
cos
-->
α α -->
1
cos
-->
α α -->
=
sin
-->
α α -->
cos
-->
α α -->
1
cos
-->
α α -->
=
tan
-->
α α -->
sec
-->
α α -->
{\displaystyle \sin \alpha ={\cfrac {\sin \alpha }{1}}\cdot {\cfrac {\cfrac {1}{\cos \alpha }}{\cfrac {1}{\cos \alpha }}}={\cfrac {\cfrac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}{\cfrac {1}{\cos \alpha }}}={\cfrac {\tan \alpha }{\sec \alpha }}}
Podemos agregar que
sin
-->
α α -->
⋅ ⋅ -->
sec
-->
α α -->
=
tan
-->
α α -->
{\displaystyle \sin \alpha \cdot \sec \alpha =\tan \alpha }
,
y continuando
sec
2
-->
α α -->
=
1
+
tan
2
-->
α α -->
{\displaystyle \sec ^{2}\alpha =1+\tan ^{2}\alpha }
, despejando y reemplazando
sec
-->
α α -->
{\displaystyle \sec \alpha }
se obtiene:
sin
-->
α α -->
=
tan
-->
α α -->
sec
-->
α α -->
=
tan
-->
α α -->
1
+
tan
2
-->
α α -->
{\displaystyle \sin \alpha ={\cfrac {\tan \alpha }{\sec \alpha }}={\cfrac {\tan \alpha }{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}}
En función de la cotangente
Sabiendo que
sin
-->
α α -->
=
1
csc
-->
α α -->
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {1}{\csc \alpha }}}
, y que
csc
2
-->
α α -->
=
1
+
cot
2
-->
α α -->
{\displaystyle \csc ^{2}\alpha =1+\cot ^{2}\alpha }
, entonces:
sin
-->
α α -->
=
1
csc
-->
α α -->
=
1
1
+
cot
2
-->
α α -->
{\displaystyle \sin \alpha ={\cfrac {1}{\csc \alpha }}={\cfrac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\alpha }}}}
En función de la secante
sin
-->
α α -->
=
tan
-->
α α -->
sec
-->
α α -->
{\displaystyle \sin \alpha ={\cfrac {\tan \alpha }{\sec \alpha }}}
Como
sec
2
-->
α α -->
=
1
+
tan
2
-->
α α -->
{\displaystyle \sec ^{2}\alpha =1+\tan ^{2}\alpha }
, despejando y reemplazando
tan
-->
α α -->
{\displaystyle \tan \alpha }
se obtiene:
sin
-->
α α -->
=
tan
-->
α α -->
sec
-->
α α -->
=
sec
2
-->
α α -->
− − -->
1
sec
-->
α α -->
{\displaystyle \sin \alpha ={\cfrac {\tan \alpha }{\sec \alpha }}={\cfrac {\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}{\sec \alpha }}}
En función de la cosecante
El seno y la cosecante son inversos multiplicativos:
sin
-->
α α -->
=
1
csc
-->
α α -->
{\displaystyle \sin \alpha ={\cfrac {1}{\csc \alpha }}}
[ 7]
Seno de la suma de dos ángulos
sin
-->
(
α α -->
+
β β -->
)
=
sin
-->
α α -->
cos
-->
β β -->
+
cos
-->
α α -->
sin
-->
β β -->
{\displaystyle \sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }
sin
-->
(
α α -->
− − -->
β β -->
)
=
sin
-->
α α -->
cos
-->
β β -->
− − -->
cos
-->
α α -->
sin
-->
β β -->
{\displaystyle \sin \left(\alpha -\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }
La demostración está en la sección de identidades trigonométricas .
Seno del ángulo doble
Seno del ángulo mitad
sin
-->
(
α α -->
2
)
=
{
1
− − -->
cos
-->
α α -->
2
si
α α -->
2
∈ ∈ -->
[
2
k
π π -->
,
(
2
k
+
1
)
π π -->
)
− − -->
1
− − -->
cos
-->
α α -->
2
si
α α -->
2
∈ ∈ -->
[
(
2
k
+
1
)
π π -->
,
2
(
k
+
1
)
π π -->
)
,
para
k
∈ ∈ -->
Z
{\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [2k\pi ,(2k+1)\pi )\\-{\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [(2k+1)\pi ,2(k+1)\pi )\end{cases}}\;,{\text{ para }}k\in \mathbb {Z} }
Usando las fórmulas:
sin
2
-->
θ θ -->
+
cos
2
-->
θ θ -->
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}
y
cos
-->
(
2
θ θ -->
)
=
cos
2
-->
θ θ -->
− − -->
sin
2
-->
θ θ -->
{\displaystyle \cos \left(2\theta \right)=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta }
resulta:
cos
-->
(
2
θ θ -->
)
=
1
− − -->
2
sin
2
-->
θ θ -->
{\displaystyle \cos \left(2\theta \right)=1-2\sin ^{2}\theta }
Representación de
y
=
1
− − -->
cos
-->
(
2
x
)
2
.
{\displaystyle y\;=\;{\sqrt {\frac {1-\cos(2x)}{2}}}.}
y aislando
sin
-->
θ θ -->
{\displaystyle \sin \theta }
:
|
sin
-->
θ θ -->
|
=
1
− − -->
cos
-->
(
2
θ θ -->
)
2
{\displaystyle \vert \sin \theta \vert ={\sqrt {\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}}}
El cambio
θ θ -->
=
α α -->
2
{\displaystyle \theta ={\frac {\alpha }{2}}}
corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno:
0
<
sin
-->
α α -->
2
si
α α -->
2
∈ ∈ -->
[
0
,
π π -->
)
+
2
k
π π -->
,
{\displaystyle 0<\sin {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [0,\,\pi )+2k\pi ,}
0
>
sin
-->
α α -->
2
si
α α -->
2
∈ ∈ -->
[
π π -->
,
2
π π -->
)
+
2
k
π π -->
{\displaystyle 0>\sin {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [\pi ,\,2\pi )+2k\pi }
donde
k
∈ ∈ -->
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
.
Suma de senos como producto
Producto de senos como suma
sin
-->
(
α α -->
)
sin
-->
(
β β -->
)
=
1
2
(
cos
-->
(
α α -->
− − -->
β β -->
)
− − -->
cos
-->
(
α α -->
+
β β -->
)
)
=
sin
2
-->
(
α α -->
− − -->
β β -->
2
)
− − -->
sin
2
-->
(
α α -->
+
β β -->
2
)
=
cos
2
-->
(
α α -->
+
β β -->
2
)
− − -->
cos
2
-->
(
α α -->
− − -->
β β -->
2
)
{\displaystyle \sin(\alpha )\sin(\beta )={\frac {1}{2}}\left(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )\right)=\sin ^{2}\left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)-\sin ^{2}\left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)=\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)-\cos ^{2}\left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}
Usando las ecuaciones de coseno de la suma de dos ángulos y restando resulta la primera ecuación, y si a éstas ecuaciones se le aplica la identidad de coseno del ángulo doble resulta la segunda ecuación.
Potencias de senos
sin
2
-->
x
=
1
2
(
1
− − -->
cos
-->
2
x
)
{\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {1}{2}}(1-\cos 2x)}
sin
3
-->
x
=
1
4
(
3
sin
-->
x
− − -->
sin
-->
3
x
)
{\displaystyle \sin ^{3}x={\frac {1}{4}}(3\sin x-\sin 3x)}
Análisis matemático
Definición
La función seno puede definirse mediante un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias:
d
x
/
d
t
=
y
{\displaystyle dx/dt=y}
d
y
/
d
t
=
− − -->
x
{\displaystyle dy/dt=-x}
si la condición inicial es (0,1) entonces su solución es
x
=
sin
-->
(
t
)
{\displaystyle x=\sin(t)}
e
y
=
cos
-->
(
t
)
{\displaystyle y=\cos(t)}
.
Derivada
sin
′
-->
x
=
cos
-->
x
{\displaystyle \sin 'x=\cos x\,}
Observación:
sin
′
-->
x
=
sin
-->
(
x
+
π π -->
2
)
{\displaystyle \sin 'x=\sin \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)}
.
Como serie de Taylor
El seno como Serie de Taylor en torno a a = 0 es:
sin
-->
x
=
x
− − -->
x
3
3
!
+
x
5
5
!
− − -->
x
7
7
!
+
⋯ ⋯ -->
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{aligned}}}
Propiedades
Es una función continua en todo su dominio de definición .
Es una función trascendente pues no se puede expresar mediante una función algebraica, sea entera, racional o irracional.
El seno es una función analítica , esto es, que tiene derivada continua de cualquier orden.
Tiene una infinidad contable de ceros, donde corta al eje X.
Tiene una infinidad contable de valor máximo = 1; igual cantidad contable de valor mínimo = -1.
Tienen infinidad contable de puntos de inflexión.
Su gráfica es cóncava (hacia abajo) en
[
2
k
π π -->
,
(
2
k
+
1
)
π π -->
]
{\displaystyle [2k\pi ,(2k+1)\pi ]}
Su gráfica es convexa (hacia arriba) en
[
(
2
k
+
1
)
π π -->
,
2
(
k
+
1
)
π π -->
]
{\displaystyle [(2k+1)\pi ,2(k+1)\pi ]}
[ 8]
Análisis complejo
En el plano complejo a través de la fórmula de Euler se tiene que:
En programación
Gran parte de los lenguajes de programación tienen la función seno en sus librerías.
La mayoría de los modelos de calculadoras están configurados y aceptan el valor de un ángulo cualquiera en los tres sistemas estándares de referencia angular: grados sexagesimales , grados centesimales y radianes.
Ejemplos:
Seno de 45 grados = 0,7071
Seno de 45 radianes = 0,8509.
Obsérvese que la diferencia entre ambos valores resultantes podría pasar desapercibida. Es necesario, entonces, pasar los grados a radianes o viceversa. Nótese que el símbolo π es el número Pi . Ejemplo de conversiones:
Rad = Deg * π/180
Deg = Rad * 180/π.
La comprobación del modo en curso de una calculadora se hace con valores conocidos:
π π -->
{\displaystyle \pi }
y 90°:
sin
-->
π π -->
=
0
{\displaystyle \sin \pi =0}
en caso del modo de radianes activo.
sin
-->
90
=
1
{\displaystyle \sin 90=1}
en caso del modo de grados sexagesimales activo.
Representación gráfica
Véase también
Referencias
↑ A. I. Markushévich: Curvas maravillosas/ Números complejos y representaciones conformee/ Funciones maravillosas Editorial Mir, Moscú, 1988, pp 99-100
↑ Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Diccionario esencial de las ciencias . ISBN 84-239-7921-0 . «Sen->Abreviatura de seno. Seno->...Abreviado sen. Sin->()Elemento compositivo que significa "con","a la vez".»
↑ A. Bouvier y M. George. Diccionario de Matemáticas . AKAL. ISBN 84-7339-706-1 . «Sen->Abreviación de seno. Seno->...Representado por Sen.»
↑ Equipo editorial (2001). Enciclopedia didáctica de matemáticas . OCEANO. ISBN 84-494-0696-X . «Seno-> ... sen â ...»
↑ En el sitio Centros5.Pntic.Mec.es se refieren erróneamente a yia como yivá , que no significa «cuerda» sino «ser vivo».
↑ Howard Eves (1990). An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237) . Saunders College Publishing House, New York.
↑ I. Bronshtein & K. Semendiaev: Manual de matemáticas, Editorial Mir, Moscú/ 1973, pág. 210
↑ Bronshtein. Op. ci pág, pág. 275
↑ A. Markushevich: Teoría de las funciones analíticas' tomo I editorial Mir Moscú (1970)
Enlaces externos
Funciones trigonométricas e hiperbólicas
Grupos Otras