En teoría de números, el teorema de Lucas caracteriza el residuo del coeficiente binomial
cuando este es dividido por un número primo
. Fue enunciado por primera vez en 1878 en una publicación del matemático Édouard Lucas, aunque no demostró el resultado.[1][2] El teorema de Lucas tiene muchas aplicaciones, como explicar la naturaleza fractal de los coeficientes binomiales módulo
.[3]
Enunciado
Sean
y
números enteros no negativos y
un número primo. Entonces, tenemos la siguiente relación de congruencia:
![{\displaystyle {\binom {m}{n}}\equiv \prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}{\pmod {p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54bdc01ea5e65417c55a1d7550cf9fcf970b611d)
donde
![{\displaystyle m=m_{k}p^{k}+m_{k-1}p^{k-1}+\cdots +m_{1}p+m_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd789f4d6620862235746f9ba2789f1f4c4897b)
y
![{\displaystyle n=n_{k}p^{k}+n_{k-1}p^{k-1}+\cdots +n_{1}p+n_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd0d13870e5cb1c6cece93a85edab5458946aa2)
son las expansiones de
y
en base
. Se utiliza la convención que
si
.
Demostración
El teorema de Lucas tiene distintas demostraciones, pero una prueba clásica sigue el siguiente esquema:
- Primero, se demuestra que
a menos que
o
.
- Luego, se puede demostrar que
para
.
- Luego, se puede demostrar que
.
- Se puede demostrar la siguiente relación
, específicamente si se toma
y luego se utiliza el argumento de recursión para la fórmula general.
- Utilizando inducción, si
y
, se concluye
.
Aplicaciones
El Triángulo de Sierpinski está indirectamente relacionado al teorema de Lucas. Nota que los coeficientes binomiales se utilizan para generar el Triángulo de Pascal. A su vez, si consideramos el triángulo de pascal módulo
, podemos explicar la naturaleza fractal de los coeficientes binomiales utilizando el teorema de Lucas.[3] Por ejemplo, si se toma el Triángulo de Pascal módulo 2, todo número impar correspondería a 1, mientras que todo número par correspondería a 0. De aquí, codificamos todas las entradas del Triángulo de Sierpinski a 1 si el número es impar y 0 si el número es par. Al final, lograremos observar que el triángulo de pascal y triángulo de Sierpinski son prácticamente idénticos.[4]
Referencias
Enlaces externos