Note que en el segmento BC, ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, y en AB, ∠ADB = ∠ACB.
Ahora, por ángulos comunes △ABK es semejante a △DBC, y △ABD ∼ △KBC
Por lo tanto AK/AB = CD/BD, y CK/BC = DA/BD,
Por lo tanto AK·BD = AB·CD, y CK·BD = BC·DA;
Lo que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·DA
Es decir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
Pero AK+CK = AC, por lo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.
Note que la demostración es válida solo para cuadriláteros concíclicos simples. Si el cuadrilátero es complejo entonces K se encontrará fuera del segmento AC, y por lo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.
Existe una generalización de este teorema llamado el teorema de Casey, que involucra a cuatro circunferencias no secantes y tangentes interiores a una quinta.
El teorema de Ptolomeo se puede demostrar con métodos de inversión geométrica con respecto a cualquier vértice de un cuadrilátero.[1]
Ejemplo
La razón dorada se obtiene de la aplicación del teorema de Ptolomeo
Considérese un pentágono regular y la circunferencia circunscrita al mismo. En el cuadrilátero ABCD las diagonales son iguales al lado AD. El teorema de Ptolomeo arroja en este caso,
Dividiendo entre se tiene
Denotando con la razón b/a se obtiene , ecuación que coinicide con la definición del número áureo.