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Interpretación geométrica: para cualquier función continua en
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
y diferenciable en
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
, entonces existe algún
c
{\displaystyle c}
en el intervalo
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
de tal manera que la secante que une los extremos del intervalo
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
es paralela a la tangente en
c
{\displaystyle c}
.
Existe un punto del arco fijado donde la tangente es paralela a la cuerda.
En análisis matemático , y más concretamente en cálculo diferencial , el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange ). A partir de este puede demostrarse la regla de L'Hôpital , fuerte ayuda para el cálculo de límites con indeterminaciones
0
0
{\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}}
o
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
{\displaystyle \textstyle {\frac {\infty }{\infty }}}
.
Enunciado
El teorema, aparecido en su Cours d’Analyse (1821),[ 1] se enuncia de la siguiente manera:
Sean
f
{\displaystyle f}
y
g
{\displaystyle g}
continuas en
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
y derivables en
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
. Entonces existe al menos un punto
c
∈ ∈ -->
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
tal que:
(
f
(
b
)
− − -->
f
(
a
)
)
g
′
(
c
)
=
(
g
(
b
)
− − -->
g
(
a
)
)
f
′
(
c
)
.
{\displaystyle (f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c).\,}
En el caso de que g (a ) ≠ g (b ) y además g ′(c ) ≠ 0 , entonces se puede escribir:
f
′
(
c
)
g
′
(
c
)
=
f
(
b
)
− − -->
f
(
a
)
g
(
b
)
− − -->
g
(
a
)
⋅ ⋅ -->
{\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot }
Nótese el caso particular en el cual g(x)=x , donde entonces la expresión se reduce al teorema del valor medio de Lagrange .
Demostración
Sea G(x ) una función definida como:
G
(
x
)
=
[
g
(
b
)
− − -->
g
(
a
)
]
⋅ ⋅ -->
[
f
(
x
)
− − -->
f
(
a
)
]
− − -->
[
f
(
b
)
− − -->
f
(
a
)
]
⋅ ⋅ -->
[
g
(
x
)
− − -->
g
(
a
)
]
{\displaystyle G(x)=[g(b)-g(a)]\cdot [f(x)-f(a)]-[f(b)-f(a)]\cdot [g(x)-g(a)]\,\!}
donde f(x) y g(x) son funciones continuas en [a ,b ], derivables en (a ,b ). Se puede observar por simple inspección que G(a)=0 y G(b)=0 .
G
′
(
x
)
=
[
g
(
b
)
− − -->
g
(
a
)
]
⋅ ⋅ -->
f
′
(
x
)
− − -->
[
f
(
b
)
− − -->
f
(
a
)
]
⋅ ⋅ -->
g
′
(
x
)
{\displaystyle G'(x)=[g(b)-g(a)]\cdot f'(x)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(x)}
y sabiendo que G'(c) es 0
0
=
[
g
(
b
)
− − -->
g
(
a
)
]
⋅ ⋅ -->
f
′
(
c
)
− − -->
[
f
(
b
)
− − -->
f
(
a
)
]
⋅ ⋅ -->
g
′
(
c
)
{\displaystyle 0=[g(b)-g(a)]\cdot f'(c)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(c)}
de donde se deduce que
[
f
(
b
)
− − -->
f
(
a
)
]
⋅ ⋅ -->
g
′
(
c
)
=
[
g
(
b
)
− − -->
g
(
a
)
]
⋅ ⋅ -->
f
′
(
c
)
{\displaystyle [f(b)-f(a)]\cdot g'(c)=[g(b)-g(a)]\cdot f'(c)}
Si g(b)-g(a) y g'(c) son distintos de 0, la expresión anterior puede ser escrita como:
f
(
b
)
− − -->
f
(
a
)
g
(
b
)
− − -->
g
(
a
)
=
f
′
(
c
)
g
′
(
c
)
{\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}
Q.E.D.
Consecuencias
El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas. Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hôpital :
lim
x
→ → -->
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→ → -->
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
muy usada en análisis matemático , para el cálculo de límites de la forma de
0
0
{\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}}
o
∞ ∞ -->
∞ ∞ -->
{\displaystyle \textstyle {\frac {\infty }{\infty }}}
.
Referencias
↑ Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques , p. 193.