El árbol de Pitágoras es un planofractal construido a partir de cuadrados, inventado por el profesor Albert E. Bosman en 1942. Lleva el nombre del matemático griego Pitágoras debido a que en cada unión de 3 cuadrados se forma un triángulo rectángulo en una configuración utilizada tradicionalmente para representar el teorema de Pitágoras. Si el cuadrado más grande tiene un tamaño de L x L, todo el árbol de Pitágoras encajará perfectamente dentro de una caja de tamaño 6L × 4L.[1][2] Los detalles más finos de los árboles se asemejan a la curva de Lévy C.
Construcción
Animación de un árbol de Pitágoras imperfectamente semejante a sí mismoEl árbol de Pitágoras con un ángulo de 25 grados y coloración suave
La construcción del árbol de Pitágoras comienza con un cuadrado. Sobre este cuadrado se construyen otros dos cuadrados, cada uno reducido por un factor lineal de ½√2 de tal manera que las esquinas de los cuadrados coinciden dos a dos. Este mismo procedimiento se aplica de forma recursiva para las dos cuadrados más pequeños, repitiéndose el proceso indefinidamente. La siguiente imagen muestra las primeras iteraciones en el proceso de construcción.[1][2]
Construcción del árbol de Pitágoras, orden 1
Orden 2
Orden 3
Orden 4
Orden 0
Orden 1
Orden 2
Orden 3
El límite de esta sucesión de conjuntos existe[3] y es el fractal llamado árbol de Pitágoras.
Área
La iteración n en la construcción suma 2n cuadrados de tamaño (½√2)n para un área total de 1. Así el área del árbol puede parecer que crece sin límite cuando n→∞. Sin embargo, algunos de los cuadrados se superponen a partir de la orden de iteración 5, el árbol en realidad tiene un área finita, ya que queda inscrito dentro de una caja de 6 x 4.[1]
Se puede demostrar fácilmente que el área A del árbol de Pitágoras debe estar en el rango de 5 <A < 18, que puede ser precisado con cálculos adicionales. Poco se sabe acerca el valor real de A.
Propiedades
Las ramas finales del árbol de Pitágoras se asemejan a la curva de Lévy C
Si se elimina la primera función del sistema de funciones iteradas, se tiene un sistema contractivo que genera un fractal parecido a la curva C de Lévy.
Variantes
Si se cambian los ángulos que forman los cuadrados (y, por tanto, sus tamaños), se obtienen otros árboles fractales. Por ejemplo, con ángulos de 60 y 30 grados y 9 iteraciones se tiene el siguiente árbol (en este ejemplo, el conjunto inicial es el borde de un cuadrado):
Orden 4
Orden 10
Para los ángulos y , la razón de contracción de los cuadrados ha de ser y , respectivamente.[4]
Historia
El árbol de Pitágoras fue construido por primera vez por el profesor de matemáticas Albert E. Bosman (1891-1961), en Holanda en 1942.[6][1]