Problem odwrotny (zagadnienie odwrotne, ang. Inverse problem) – zadanie, które często występuje w różnych gałęziach nauki czy matematyki, gdzie niektóre parametry modelu muszą być wyznaczone na podstawie obserwowanych wartości.

Problemy odwrotne to jedna z najważniejszych klas problemów matematycznych, skoncentrowanych wokół bardzo wielu różnych dziedzin nauki; ponieważ są to zagadnienia, które są w stanie – przy pewnych założeniach na ich temat – powiedzieć nam coś o pewnych wielkościach, których nie jesteśmy jednak w stanie bezpośrednio zaobserwować. Wiele problemów odwrotnych można znaleźć w ramach takich obszarów wiedzy, jak między innymi: identyfikacja systemu, optyka, radiolokacja, akustyka, teoria komunikacji, przetwarzanie sygnałów, obrazowanie medyczne, rozpoznawanie obrazów^[1][2], geofizyka, oceanografia, meteorologia, astronomia, teledetekcja, przetwarzanie języka naturalnego, uczenie maszynowe^[3], defektoskopia, stateczność zboczy^[4] (zagadnienie geotechniki); a także w ramach wielu innych, niewymienionych tutaj.

Załóżmy, że wybrane zjawisko można opisać za pomocą zależności:

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {H} (\mathbf {X} ,\mathbf {P} ,\mathbf {C} )}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {Y} =\{y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\}}$ to wektor danych wyjściowych z systemu (np. zmierzona temperatura obiektu); ${\displaystyle \mathbf {X} =\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}}$ to wektor danych wejściowych oznaczający przyczyny zewnętrzne (np. przyłożona siła); ${\displaystyle \mathbf {P} =\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{r}\}}$ oznacza właściwości samego systemu (np. stałe materiałowe); ${\displaystyle \mathbf {C} =\{c_{1},c_{2},\dots ,c_{k}\}}$ oznacza warunki brzegowe; ${\displaystyle \mathbf {H} }$ to system (funkcja, macierz) opisujący zjawisko. Jeśli na podstawie znanych parametrów ${\displaystyle \mathbf {X} ,\mathbf {P} ,\mathbf {C} }$ wyznaczana jest wartość ${\displaystyle \mathbf {Y} ,}$ to mamy do czynienia z zagadnieniem wprost. W przypadku gdy na podstawie znajomości wektora ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ i wybranych parametrów spośród ${\displaystyle \mathbf {X} ,\mathbf {P} ,\mathbf {C} }$ mamy wyznaczyć brakujące wielkości opisujące zjawisko mówimy o problemie odwrotnym. Możliwa jest również sytuacja w której np. posiadamy niepełną informację na temat wektorów ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ i ${\displaystyle \mathbf {X} ,}$ wtedy zadanie mające na celu wyznaczyć brakujące wartości nazywamy problemem mieszanym^[5].

Odnosząc rozumowanie do ilustracji obok załóżmy, że nasz model polega na zsumowaniu wszystkich cyfr z pudła (część A rysunku). Zagadnienie odwrotne mogłoby polegać na wyznaczeniu na podstawie obserwowanego wyniku 27 zawartości pudła (część B rysunku). W zależności od dodatkowych informacji o naszym modelu możemy uzyskać rzeczywiste rozwiązanie bądź nie. Mówimy wtedy, że problem jest dobrze bądź źle postawiony.

W praktyce zagadnienia odwrotne są często problemami źle postawionymi i do ich rozwiązania wykorzystuje się np. metody regularyzacyjne. Wybór techniki rozwiązania zależy od rodzaju zagadnienia. Zwyczajowo wyróżnia się 3 następujące typy zagadnień odwrotnych źle postawionych^[5]:

• typ I – gdy liczba niewiadomych jest większa niż liczba danych wejściowych,
• typ II – gdy poszukiwane parametry modelu są niewrażliwe na dane wejściowe,
• typ III – gdy zmierzone dane wejściowe obarczone błędem pomiarowym poddawane są działaniu operatora różniczkowego.

Praktycznym wykorzystaniem problemu odwrotnego jest np. algorytm rekonstrukcji obrazu w tomografii komputerowej^[6], wyznaczanie prądów morskich^[7], zastosowanie w badaniach nieniszczących^[5] czy wyznaczanie źródeł bioelektrycznych elektrokardiografii^[8] i elektroencefalografii^[9].

• regularyzacja Tichonowa

• Międzynarodowe Stowarzyszenie Problemów Odwrotnych