PrimeGrid — проект добровольных распределенных вычислений на платформе BOINC, целью которого является поиск различных простых чисел специального вида. Проект стартовал 12 июня 2005 года. По состоянию на 25 марта 2012 года в нём приняли участие более 49 000 пользователей (156 565 компьютеров) из 188 стран, в совокупности обеспечивая производительность 3,3 петафлопс^[1].

В проекте производится поиск простых чисел специального вида следующих типов:

• 321-числа: простые числа вида ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}\pm 1}$;
• числа Софи Жермен: такое простое ${\displaystyle p}$, что ${\displaystyle 2p+1}$ также является простым;
• обобщенные простые числа Ферма: простые числа вида ${\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}$ (частный случай, ${\displaystyle k^{2^{n}}+1}$);
• факториальные простые числа: простые вида ${\displaystyle n!\pm 1}$ (последовательность A088054 в OEIS);
• праймориальные простые числа: простые числа вида ${\displaystyle n\#\pm 1}$ (последовательности A057704 и A014545 в OEIS);
• простые числа Прота: простые числа вида ${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$, ${\displaystyle k}$ — нечетно, ${\displaystyle 2^{n}>k}$ (последовательность A080076 в OEIS);
• простые числа Каллена: простые числа вида ${\displaystyle n\cdot 2^{n}+1}$ (последовательность A005849 в OEIS);
• простые числа Вудала: простые числа вида ${\displaystyle n\cdot 2^{n}-1}$ (последовательность A002234 в OEIS);
• обобщённые простые числа Вудалла: простые числа вида ${\displaystyle n\cdot k^{n}-1}$;
• простые числа Вифериха: такие простые ${\displaystyle p}$, что ${\displaystyle 2^{p-1}-1}$ делится на ${\displaystyle p^{2}}$ (последовательность A001220 в OEIS);
• предположительно простые числа;
• простые числа-близнецы: пара простых чисел, отличающихся на 2 (последовательности A006512 и A001359 в OEIS).

Поиск простых чисел Каллена, Вудалла, Прота и обобщённых простых чисел Ферма эффективно реализуется с использованием вычислительных возможностей современных видеокарт Nvidia (технология CUDA).

Часть вычислительных мощностей проекта используется для решения открытых математических проблем:

• проблемы Ризеля: поиск такого минимального нечётного ${\displaystyle k}$, что число ${\displaystyle k\cdot 2^{n}-1}$ является составным для всех натуральных ${\displaystyle n}$;
• проблемы Серпинского: поиск такого минимального нечётного натурального ${\displaystyle k}$, что число ${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$ является составным для всех натуральных ${\displaystyle n}$ (поглотив проект Seventeen or Bust);
• проблемы Серпинского — Ризеля по основанию 5: поиск такого минимального нечётного ${\displaystyle k}$, что число ${\displaystyle k\cdot 5^{n}-1}$ является составным для всех натуральных ${\displaystyle n}$.

В 2010 году была найдена первая известная арифметическая прогрессия из 26 простых чисел (подпроект AP26). В 2019 году была найдена первая известная арифметическая прогрессия из 27 простых чисел (подпроект AP26/AP27).

Для тестов простоты используются алгоритмы Люка-Лемера-Ризеля и решета.

3 июля 2007 года добавлен подпроект, направленный на поиск простых чисел Каллена/Вудалла^[2]. Уже 8 августа 2007 года было открыто первое новое простое число Вудалла 2013992×2^2013992−1, содержащее 606 279 цифр^[3].

13 октября 2007 года добавлен подпроект, целью которого является решение проблемы Серпинского^[4].

5 декабря 2007 года добавлен подпроект для поиска чисел вида ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$ с использованием программного обеспечения LLR^[5].

29 июня 2008 года подпроект по поиску чисел вида ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$, проверивший диапазон значений n < 5⋅10⁶, переключён на поиск чисел вида ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}+1}$^[6].

26 декабря 2008 года добавлен подпроект, направленный на поиск праймориальных простых чисел^[7].

27 декабря 2008 года добавлен подпроект AP26, целью которого является поиск арифметической прогрессии из 26 простых чисел^[8].

16 августа 2009 года добавлен подпроект, направленный на поиск простых чисел Софи Жермен^[9].

10 ноября 2009 года добавлен подпроект по поиску обобщённых чисел Ферма^[10].

10 декабря 2009 года для подпроекта AP26 добавлен расчётный клиент с поддержкой технологии CUDA^[11].

31 января 2010 года начато сотрудничество с проектом Seventeen or Bust, направленное на решение проблемы Серпинского^[12].

1 декабря 2010 года анонсирован новый расчётный модуль для поиска простых чисел Прота методом решета с поддержкой технологий CUDA и OpenCL^[13].

7 января 2011 года добавлен подпроект для решения проблемы Серпинского/Ризеля по основанию 5^[14].

9 января 2012 года в модуле LLR реализована поддержка векторных расширений системы команд процессора AVX, что обеспечивает 20—50 % прибавку в производительности в зависимости от приложения^[15].

4 февраля 2012 года реализован расчётный модуль genefer для поиска обобщённых чисел Ферма с поддержкой технологии CUDA^[16].

В результате выполняемых расчётов был открыт ряд простых чисел специального вида и арифметических прогрессий из простых чисел.

• Числа Вудалла:
  • 3752948×2^3752948−1 (1 129 757 цифр) — самое большое известное простое число Вудалла;
  • 2367906×2^2367906−1 (712 818 цифр);
  • 2013992×2^2013992−1 (606 279 цифр).

• 321-числа:
  • 3×2^4235414−1 (1 274 988 цифр).
• Числа Прота:
  • 258317×2^5450519+1 (1 640 776 цифр);
  • 265711×2^4858008+1 (1 462 412 цифры);
  • 651×2⁴⁷⁶⁶³²+1 (143 484 цифры);
  • 825×2³⁷³³³¹+1 (112 387 цифр).

• Арифметические прогрессии из 25 простых чисел ${\displaystyle (0\leq n\leq 24)}$:
  • 12353443596260323+23793841×23#×n;
  • 46176957093163301+1109121×23#×n;
  • 18162964758258289+3755664×23#×n;
  • 20919497549238289+3155495×23#×n;
  • 2960886048458003+2346233×23#×n.
• Арифметические прогрессии из 24 простых чисел ${\displaystyle (0\leq n\leq 23)}$:
  • 4891686128805269+19453568×23#×n;
  • 4687877159107031+18203167×23#×n;
  • 1948053460212667+17745794×23#×n;
  • 3634080452156039+16981607×23#×n;
  • 10307159737232191+14120563×23#×n;
  • 13678065943093049+13223804×23#×n;
  • 10317962076055027+10241601×23#×n;
  • 7979661543967237+9936237×23#×n;
  • 39421708111691+9740894×23#×n;
  • 5531900872160491+9383796×23#×n;
  • 13432401425380607+9219580×23#×n;
  • 14992521666441877+8832442×23#×n;
  • 167806194923077+4935146×23#×n;
  • 6274259724784693+2522655×23#×n;
  • 7960592659339799+2326495×23#×n;
  • 6872932294461509+2042703×23#×n;
  • 20187352211709911+1799216×23#×n;
  • 2725131905640097+1342336×23#×n;
  • 25545151920212759+1140241×23#×n;
  • 13785500104035967+1004314×23#×n;
  • 19471368812966089+410682×23#×n;
  • 19516186145019209+313705×23#×n;
  • 20909681071069667+234797×23#×n.
• 321-числа:
  • 3×2^5082306+1 (1 529 928 цифр).
• Числа Каллена:
  • 6679881×2^6679881+1 (2 010 852 цифры) — самое большое известное простое число Каллена;
  • 6328548×2^6328548+1 (1 905 090 цифр).
• Числа Прота:
  • 27×2^2218064+1 (667 706 цифр);
  • 659×2⁶¹⁷⁸¹⁵+1 (185 984 цифры);
  • 519×2⁵⁶⁷²³⁵+1 (170 758 цифр);
  • 15×2⁴⁸³⁰⁹⁸+1 (145 429 цифр).
• Обобщённые простые числа Вудалла:
  • 563528×13⁵⁶³⁵²⁸−1 (627 745 цифр).
• Предположительно простые числа:
  • 2^4583176+2131 (1 379 674 цифры).
• Другие:
  • 27×2^1902689−1 (572 768 цифр).

• Арифметическая прогрессия из 26 простых чисел ${\displaystyle (0\leq n\leq 25)}$:
  • 43142746595714191+23681770×23#×n.
• Арифметические прогрессии из 25 простых чисел ${\displaystyle (0\leq n\leq 24)}$:
  • 18626565939034793+30821486×23#×n;
  • 25300381597038677+28603610×23#×n;
  • 42592855872841649+19093314×23#×n;
  • 24715375237181843+19071018×23#×n;
  • 46428033558097831+12893265×23#×n;
  • 58555890166091939+10416756×23#×n;
  • 49644063847333931+7851809×23#×n.
• 321-числа:
  • 3×2^6090515−1 (1 833 429 цифр).
• Числа Прота:
  • 90527×2^9162167+1 (2 758 093 цифры).
• Факториальные простые числа:
  • 103040!−1 (471 794 цифры);
  • 94550!−1 (429 390 цифр).
• Праймориальные простые числа:
  • 843301#−1 (365 851 цифра) — самое большое известное праймориальное простое число на момент открытия;
  • 392113#+1 (169 966 цифр).
• Проблема Серпинского — Ризеля по основанию 5:
  • 151026×5⁵⁵⁹⁶⁷⁰−1 (391 198 цифр);
  • 3938×5⁵⁵⁸⁰³²−1 (390 052 цифры);
  • 105782×5⁵⁵¹⁷⁶⁶−1 (385 673 цифры);
  • 183916×5⁵¹⁹⁵⁹⁷−1 (363 188 цифр);
  • 53542×5⁵¹⁵¹⁵⁵−1 (360 083 цифры).
• Проблема Ризеля: найдено простое число 191249×2^3417696−1 (1 028 835 цифр), основание 191249 исключено из рассмотрения.

• Простые-близнецы:
  • 3756801695685×2⁶⁶⁶⁶⁶⁹±1 (200 700 цифр) — самая большая известная пара простых-близнецов.
• Обобщённые простые числа Ферма:
  • 75898⁵²⁴²⁸⁸+1 (2 558 647 цифр);
  • 361658²⁶²¹⁴⁴+1 (1 457 075 цифр);
  • 145310²⁶²¹⁴⁴+1 (1 353 265 цифр);
  • 40734²⁶²¹⁴⁴+1 (1 208 473 цифр).
• Числа Прота:
  • 9×2^2543551+1 (765 687 цифр);
  • 25×2^2141884+1 (644 773 цифры);
  • 4479×2²²⁶⁶¹⁸+1 (68 223 цифры);
  • 3771×2²²¹⁶⁷⁶+1 (66 736 цифр);
  • 7333×2¹³⁸⁵⁶⁰+1 (41 716 цифр).
• Факториальные простые числа:
  • 110059!-1 (507 082 цифр).
• 321-числа:
  • 3×2^7033641+1 (2 117 338 цифр).
• Обобщённые числа Вудалла:
  • 404882×43⁴⁰⁴⁸⁸²-1 (661 368 цифр).
• Проблема Ризеля: в результате нахождения простых чисел
  • 353159×2^4331116-1 (1 303 802 цифр),
  • 141941×2^4299438-1 (1 294 265 цифр),
  • 123547×2^3804809-1 (1 145 367 цифр),
  • 415267×2^3771929-1 (1 135 470 цифр),
  • 65531×2^3629342-1 (1 092 546 цифр),
  • 428639×2^3506452-1 (1 055 553 цифры)

исключены из рассмотрения основания 428639, 415267, 353159, 141941, 123547, 65531. Непроверенными на тот момент оставались ещё 57 оснований.

• Числа Прота:
  • 7×2^5775996+1 (1 738 749 цифр)^[17];
  • 9×2^3497442+1 (1 052 836 цифр)^[18];
  • 81×2^3352924+1 (1 009 333 цифры)^[19];
  • 131×2^1494099+1 (449 771 цифра)^[20];
  • 329×2^1246017+1 (375 092 цифры)^[21];
  • 1705×2⁹⁰⁶¹¹⁰+1 (272 770 цифр)^[22];
  • 7905×2³⁵²²⁸¹+1 (106 052 цифры)^[23].
• Обобщённые простые числа Ферма:
  • 475856⁵²⁴²⁸⁸+1 (2 976 633 цифры) — самое большое известное обобщённое простое число Ферма^[24];
  • 341112⁵²⁴²⁸⁸+1 (2 900 832 цифры)^[25];
  • 773620²⁶²¹⁴⁴+1 (1 543 643 цифры)^[26]
  • 676754²⁶²¹⁴⁴+1 (1 528 413 цифр)^[27]
  • 525094²⁶²¹⁴⁴+1 (1 499 526 цифр)^[28].
• Обобщённые простые числа Каллена:
  • 427194×113⁴²⁷¹⁹⁴+1 (877 069 цифр) — самое большое известное обобщённое простое число Каллена^[29].
• Праймориальные простые числа:
  • 1098133#−1 (476 311 цифр) — самое большое праймориальное простое число среди известных^[30].
• Проблема Ризеля: в результате нахождения простых чисел
  • 252191×2^5497878−1 (1 655 032 цифры)^[31]
  • 162941×2⁹⁹³⁷¹⁸−1 (299 145 цифр)^[32]

исключены из рассмотрения основания 162941 и 252191. Непроверенными остаются ещё 55 оснований.

• Проблема Серпинского: в результате нахождения простых чисел
  • 147559×2^2562218+1 (771 310 цифр),
  • 123287×2^2538167+1 (764 070 цифр)

исключены из рассмотрения основания 123287 и 147559. Непроверенными остаются ещё 15 оснований^[33].

• Простые Софи Жермен:
  • 18543637900515×2⁶⁶⁶⁶⁶⁷−1 (200 701 цифра) — самое большое известное простое Софи Жермен^[34].
• Другие:
  • 27×2^3855094−1 (1 160 501 цифра)^[35].

• Числа Прота:
  • 57×2^2747499+1 (827 082 цифры)^[36]
  • 183×2^1747660+1 (526 101 цифра)^[37]
  • 2145×2^1099064+1 (330 855 цифр)^[38]
• Проблема Ризеля: в результате нахождения простых чисел
  • 40597×2^6808509–1 (2 049 571 цифра)^[39];
  • 304207×2^6643565−1 (1 999 918 цифр)^[40]
  • 398023×2^6418059−1 (1 932 034 цифры)^[41]

исключены из рассмотрения основания 40597, 304207 и 398023. Непроверенными остаются ещё 52 основания.

• Факториальные простые числа:
  • 147855!−1 (700 177 цифр)^[42]
• Проблема Серпинского — Ризеля по основанию 5:
  • 37292×5^1487989+1 (1 040 065 цифр)^[43]
  • 173198×5^1457792−1 (1 018 959 цифр)^[44]

• Проблема Серпинского — Ризеля по основанию 5:
  • 325918×5^1803339−1 (1 260 486 цифр)^[45];
  • 138172×5^1714207−1 (1 198 185 цифр)^[46];
  • 22478×5^1675150−1 (1 170 884 цифры)^[47];
  • 326834×5^1634978−1 (1 142 807 цифр)^[48];
  • 207394×5^1612573−1 (1 127 146 цифр)^[49];
  • 104944×5^1610735−1 (1 125 861 цифра)^[50];
  • 330286×5^1584399−1 (1 107 453 цифры)^[51];
  • 22934×5^1536762−1 (1 074 155 цифр)^[52];
  • 178658×5^1525224−1 (1 066 092 цифры)^[53];
  • 59912×5^1500861+1 (1 049 062 цифр)^[54].
• 321-числа:
  • 3×2^11484018−1 (3 457 035 цифр)^[55];
  • 3×2^10829346+1 (3 259 959 цифр)^[56].
• Числа Прота:
  • 35×2^3587843+1 (1 080 050 цифр)^[57];
  • 35×2^3570777+1 (1 074 913 цифр)^[58];
  • 33×2^3570132+1 (1 074 719 цифр)^[59];
  • 93×2^3544744+1 (1 067 077 цифр)^[60];
  • 87×2^3496188+1 (1 052 460 цифр)^[61];
  • 51×2^3490971+1 (1 050 889 цифр)^[62];
  • 255×2^3395661+1 (1 022 199 цифр)^[63].
• Проблема Ризеля: в результате нахождения простых чисел
  • 502573×2^7181987−1 (2 162 000 цифр)^[64] — самое большое известное число Ризеля;
  • 402539×2^7173024−1 (2 159 301 цифра)^[65]

исключены из рассмотрения основания 402539 и 502573. Непроверенными остаются ещё 50 оснований.

• Числа Прота:
  • 27×2^5213635+1 (1 569 463 цифры)^[66];
  • 191×2^3548117+1 (1 068 092 цифры)^[67];
  • 141×2^3529287+1 (1 062 424 цифры)^[68];
  • 249×2^3486411+1 (1 049 517 цифр)^[69];
  • 195×2^3486379+1 (1 049 507 цифр)^[70];
  • 197×2^3477399+1 (1 046 804 цифры)^[71];
  • 113×2^3437145+1 (1 034 686 цифр)^[72];
  • 159×2^3425766+1 (1 031 261 цифра)^[73];
  • 177×2^3411847+1 (1 027 071 цифра)^[74];
  • 267×2^2662090+1 (801 372 цифры)^[75].
• 321-числа:
  • 3×2^11895718−1 (3 580 969 цифр)^[76] — самое большое известное 321-число, самое большое простое число, открытое в проекте PrimeGrid;
  • 3×2^11731850−1 (3 531 640 цифр)^[77].
• Проблема Серпинского — Ризеля по основанию 5:
  • 100186×5^2079747−1 (1 453 686 цифр)^[78];
  • 144052×5^2018290+1 (1 410 730 цифр)^[79].
• Обобщённые числа Ферма:
  • 42654182¹³¹⁰⁷²+1 (1 000 075 цифр)^[80].

• Числа Прота:
  • 189×2^3596375+1 (1 082 620 цифр) ^[81]
  • 275×2^3585539+1 (1 079 358 цифр) ^[82]
  • 309×2^3577339+1 (1 076 889 цифр) ^[83]
  • 251×2^3574535+1 (1 076 045 цифр) ^[84].
  • 381×2^3563676+1 (1 072 776 цифр) ^[85]
  • 351×2^3545752+1 (1 067 381 цифра) ^[86]
  • 345×2^3532957+1 (1 063 529 цифр) ^[87]
  • 329×2^3518451+1 (1 059 162 цифры) ^[88]
  • 495×2^3484656+1 (1 048 989 цифр) ^[89]
  • 323×2^3482789+1 (1 048 427 цифр) ^[90]
  • 491×2^3473837+1 (1 045 732 цифры) ^[91]
  • 453×2^3461688+1 (1 042 075 цифр) ^[92]
  • 479×2^3411975+1 (1 027 110 цифр) ^[93];
  • 373×2^3404702+1 (1 024 921 цифра) ^[94];
  • 303×2^3391977+1 (1 021 090 цифр) ^[95];
  • 453×2^3387048+1 (1 019 606 цифр) ^[96];
  • 369×2^3365614+1 (1 013 154 цифры) ^[97];
  • 393×2^3349525+1 (1 008 311 цифра) ^[98];
  • 403×2^3334410+1 (1 003 716 цифр) ^[99];
  • 387×2^3322763+1 (1 000 254 цифры) ^[100].
• Проблема Серпинского — Ризеля по основанию 5:
  • 180062×5^2249192−1 (1 572 123 цифры) ^[101];
  • 53546×5^2216664−1 (1 549 387 цифр) ^[102];
  • 296024×5^2185270−1 (1 527 444 цифры) ^[103];
  • 92158×5^2145024+1 (1 499 313 цифры) ^[104];
  • 77072×5^2139921+1 (1 495 746 цифр) ^[105];
  • 306398×5^2112410−1 (1 476 517 цифр) ^[106];
  • 154222×5^2091432+1 (1 461 854 цифры) ^[107].
• Обобщённые простые числа Ферма:
  • 1828858²⁶²¹⁴⁴+1 (1 641 593 цифры) ^[108];
  • 1615588²⁶²¹⁴⁴+1 (1 627 477 цифр) ^[109];
  • 1488256²⁶²¹⁴⁴+1 (1 618 131 цифра) ^[110];
  • 1415198²⁶²¹⁴⁴+1 (1 612 400 цифр) ^[111];
  • 43165206¹³¹⁰⁷²+1 (1 000 753 цифры) ^[112];
  • 43163894¹³¹⁰⁷²+1 (1 000 751 цифра) ^[113].
• Простые Софи Жермен:
  • 2618163402417×2^1290000−1 (388 342 цифры) ^[114] — самое большое известное простое Софи Жермен.

С каждым годом сообщество PrimeGrid продолжает набирать все большую и большую вычислительную мощь. На текущий момент новые результаты - простые числа специального вида - появляется каждые несколько дней. Анонсирование этих достижений в реальном времени осуществляется в Дискорд-канале сообщества^[115].

• Официальный сайт проекта
• PrimeGrid Mega Primes

• Арифметические прогрессии из простых чисел
• Добровольные вычисления
• Открытые проблемы в теории чисел
• Простые числа
• BOINC
• GIMPS
• Seventeen or Bust