Formula pertle, ili algoritam pretle, je matematicki algoritam koji se koristi za izračunavanje površine jednostavnog mnogougla čija temena su određena uređenim parom u ravni.^[1] Ukrštenim množenjem odgovarajućih koordinata dobija se povrsina koja obuhvata mnogougao, i oduzme je od mnogougla koji ga okruzuje da bi se odredila površina mnogougla unutra. Zove se formula pertle zbog konstanog ukrštenog množenja za koordinate koje sastavljaju mnogougao, kao vezanje pertle.^[1] Ponekad se zove i metod pertla. Takođe, poznata je i kao Gausova površinska formula, po Karl Fridrih Gausu. Koristi se u geometriji i šumarstvu,^[2] između ostalih oblasti. Takođe je poznata i kao geometrova formula.^[3]

Formula se moze prikazati na sledeći način:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}y_{i+1}+x_{n}y_{1}-\sum _{i=1}^{n-1}x_{i+1}y_{i}-x_{1}y_{n}{\Big |}\\&={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\cdots +x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-\cdots -x_{n}y_{n-1}-x_{1}y_{n}|\\\end{aligned}}}$

gde

• A je površina mnogougla,
• n je broj stranica mnogougla, and
• (x_i, y_i), i = 1, 2,..., n su temena mnogougla.

Alternativno:^[2][4][5]

${\displaystyle \mathbf {A} ={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1}){\Big |}={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i+1}-x_{i-1}){\Big |}={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}{\Big |}={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{pmatrix}}{\Big |}}$

gde x_n+1 = x₁ i x₀ = x_n, odnosno y_n+1 = y₁ i y₀ = y_n.

Ako su tačke označene suprotno od smera kazaljki na satu, onda iznad determinante su pozitivne i absolutne zagrade mogu biti izostavljene;^[3] Ako su tačke označene u smeru kazaljki na satu, determinante će biti negativne. Ovo je zato što se formula može gledati kao poseban slučaj Grinove teoreme.

Moraju biti poznate tačke u Kartezijanovoj ravni. Na primer, gledamo trougao sa koordinatama {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Uzmemo prvu x-vrednost i pomnozimo je sa drugom y-vrednošću, onda uzmemo drugu x-vrednost i pomnozimo je sa trecom y-vrednošću, i ponovimo, i opet ponovimo, dok ne uradimo to za svaku tačku. Ovo se može definisati formulom:^[6]

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{tri.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|}$

gde x_i i y_i predstavljaju vrednosti za respektivne koordinate. Ova formula je samo proširanje one koja je data gore za slučaj n = 3. Korišćenjem nje, može se videti da je površina trougla jednaka polovini apsolutne vrednosti od 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, što je jednako 3. Broj varijabla zavisi od broja strnica mnogougla. Na primer, petougao će biti definisan do x₅ and y₅:

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{pent.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|}$

Četvorougao će biti definisan do x₄ and y₄:

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{quad.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{1}y_{4}|}$

Posmatramo mnogougao definisan tačkama (3,4), (5,11), (12,8), (9,5), and (5,6), i ilustrovam u sledećem diagramu:

Površina ovog mnogougla je:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={1 \over 2}|3\times 11+5\times 8+12\times 5+9\times 6+5\times 4\\&{}\qquad {}-4\times 5-11\times 12-8\times 9-5\times 5-6\times 3|\\[10pt]&={60 \over 2}=30\end{aligned}}}$

Razlog zašto se ova formula zove formula pertle je zbog čestog načina koji se koristi za njeno izračunavanje. Ovaj način koristi matrice. Kao primer, gledamo trougao sa temenima (2,4), (3,−8), and (1,2). Onda konstruišemo sledeću matricu tako što “hodamo oko” trougla i zavrćavamo sa početnom tačkom.^[7]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&4\\3&-8\\1&2\\2&4\end{bmatrix}}}$

Prvo, nacrtamo dijagonalno dole i ka desno (kao što je prikazano),

i pomnožimo dva broja povezana dijagonalom, a onda dodamo sve proizvode: (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6. Uradimo isto sa dijagonalama ka dole i levo (prikazano dole sa prethodnim dijagonalama):

(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8. Onda, oduzmemo ova dva broja i uzmemo apsolutnu vrednost razlike: |−6 − 8| = 14. Kada podelimo ovo sa 2 dobijemo površinu: 7. Ovakvo organizovanje brojeva čini formulu lakšom za pamćenje i procenjivanje. Sa svim nacrtanim dijagonalama, matrica liči na cipelu sa pertlama, što je dovelo do ovakvog imena.