Fungsi kontinu

Kalkulus
Teorema dasar Limit fungsi Kontinuitas Teorema nilai purata Teorema Rolle
Diferensial Definisi Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total Konsep Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor Kaidah dan identitas Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno
Integral Definisi Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral Integrasi secara parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi
Deret geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor Uji kekonvergenan uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Vektor Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas Teorema Kedivergenan Gradien Green Stokes
Multivariabel Formalisme matriks tensor eksterior geometrik Definisi Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse
Khusus fraksional Malliavin stokastik variasi
l b s

Dalam matematika, fungsi kontinu dalam adalah jenis fungsi yang perubahan secara kontinu (sinambung, tanpa terpotong) pada variabel fungsi mengakibatkan perubahan kontinu pada nilai keluaran fungsi. Hal ini mengartikan nilai fungsi tidak pernah mengalami perubahan yang mendadak/tiba-tiba. Gagasan intuitif kekontinuan mengilustrasikan fungsi kontinu sebagai fungsi yang grafiknya dapat digambar tanpa mengangkat kapur dari papan tulis. Secara lebih teknis, fungsi dikatakan kontinu jika perubahan kecil pada nilai fungsi dapat dipastikan cukup dengan membuat perubahan kecil pada variabelnya. Fungsi yang tidak kontinu dikatakan fungsi takkontinu atau fungsi diskontinu. Sampai pada abad ke-19, matematikawan sangat mengandalkan konsep kekontinuan yang intuitif. Hal ini berubah sejak definisi epsilon-delta dari limit diperkenalkan untuk memformalkan definisi kekontinuan.

Kekontinuan adalah salah satu konsep inti dalam kalkulus dan analisis matematika, yang membahas fungsi dengan keluaran maupun variabelnya dapat berupa bilangan real atau kompleks. Konsep kekontinuan juga diperumum untuk fungsi antar ruang metrik dan antar ruang topologis. Fungsi jenis terakhir adalah fungsi kontinu yang paling umum, dan definisinya menjadi dasar ilmu topologi.

Sebagai contoh, fungsi h(t) yang memerikan tinggi bunga yang sedang tumbuh pada waktu t dapat dianggap fungsi kontinu. Sebaliknya, jika fungsi M(t) melambangkan jumlah uang di sebuah rekening bank pada waktu t, nilai fungsi ini akan "melompat" ketika uang disimpan atau ditarik. Hal ini menyebabkan M(t) adalah fungsi diskontinu.

Suatu bentuk definisi epsilon-delta untuk kekontinuan pertama kali diberikan oleh Bernard Bolzano pada tahun 1817. Augustin-Louis Cauchy mendefinisikan kekontinuan ${\displaystyle y=f(x)}$ sebagai berikut: perubahan yang tak hingga kecilnya pada nilai ${\displaystyle \alpha }$ dari variabel bebas ${\displaystyle x}$, akan selalu menghasilkan perubahan yang tak hingga kecilnya pada nilai ${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$ dari variabel terikat ${\displaystyle y}$ (lihat Cours d'Analyse, hal. 34). Cauchy mendefinisikan besaran yang sangat kecil dalam bentuk besaran variabel, dan definisinya tentang kontinuitas sangat mirip dengan definisi infinitesimal yang digunakan saat ini (lihat mikrokontinuitas).

Definisi formal dan perbedaan antara kekontinuan bagian-demi-bagian (pointwise) dengan kekontinuan seragam pertama kali dinyatakan oleh Bolzano pada tahun 1830-an, tetapi karya tersebut tidak dipublikasikan sampai tahun 1930-an. Sama seperti Bolzano,^[1] Karl Weierstrass^[2] menolak mengganggap fungsi bersifat kontinu di suatu titik ${\displaystyle c}$ jika nilai fungsi tersebut tidak terdefinisi di ${\displaystyle c}$ dan di kedua sisi titik itu. Tetapi Édouard Goursat^[3] memperbolehkan fungsi untuk hanya didefinisikan di ${\displaystyle c}$ dan di salah satu sisinya. Sedangkan Camille Jordan^[4] bertindak jauh dengan mengijinkan fungsi bersifat kontinu bahkan jika fungsi hanya terdefinisi di titik ${\displaystyle c}$. Ketiga definisi yang berbeda tentang kekontinuan bagian-demi-bagian itu masih digunakan saat ini.^[5] Terbitan oleh Eduard Heine pada tahun 1872 memberikan definisi pertama mengenai kekontinuan seragam, tetapi gagasan itu didasarkan pada kuliah yang diberikan oleh Peter Gustav Lejeune Dirichlet pada tahun 1854.^[6]

Sebuah fungsi real, yakni fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real, dapat dinyatakan oleh sebuah grafik di bidang Kartesius. Dinyatakan secara informal, fungsi tersebut kontinu jika grafik dari fungsi berupa satu kurva utuh dengan domainnya adalah seluruh garis bilangan. Definisi matematis yang lebih tegas (rigor) diberikan pada bagian artikel di bawah.^[7] Secara sederhana, kekontinuan fungsi real umumnya didefinisikan dalam bentuk limit. Sebuah fungsi ${\displaystyle f}$ dengan variabel ${\displaystyle x}$ dikatakan kontinu di bilangan real ${\displaystyle c}$, jika limit dari ${\displaystyle f(x)}$ ketika ${\displaystyle x}$ menuju ${\displaystyle c}$, akan sama dengan ${\displaystyle f(c).}$

Terdapat beberapa definisi berbeda mengenai kekontinuan (secara global) dari fungsi, yang bergantung dari bentuk domain fungsi tersebut. Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada selang buka jika selang tersebut berada dalam domain fungsi, dan jika fungsi kontinu di setiap titik di selang tersebut. Fungsi yang kontinu pada selang ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ (yakni seluruh garis bilangan) umumnya cukup disebut sebagai fungsi kontinu; sebagian menyebut fungsi tersebut kontinu dimanapun. Sebagai contoh, semua fungsi polinomial kontinu dimanapun. Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada selang semi-buka atau pada selang tutup, jika selang tersebut berada dalam domain fungsi, fungsi kontinu di setiap titik dalam (interior) di selang tersebut, dan nilai fungsi pada ujung selang sama dengan nilai limit fungsi ketika variabel fungsi tersebut mendekati ujung selang dari sisi dalam selang. Sebagai contoh, fungsi ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ kontinu pada selang tutup-buka ${\displaystyle [0,+\infty )}$; karena selang tersebut berada dalam domain fungsi (lebih tepatnya, selang tersebut adalah domain dari fungsi), fungsi kontinu di setiap titik di ${\displaystyle (0,+\infty )}$, dan nilai ${\displaystyle f(0)}$ sama dengan nilai ${\displaystyle \lim f(x)}$ ketika ${\displaystyle x\to 0}$ dari arah kanan.

Sebuah fungsi dikatakan takkontinu pada suatu titik, jika titik tersebut berada di ketertutupan (closure) dari domainnya, dan jika titik tersebut bukan bagian domain fungsi atau fungsi tidak kontinu pada titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ dan ${\textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})}$ takkontinu di ${\displaystyle x=0}$, dan tetap takkontinu bahkan ketika nilai fungsi di titik tersebut didefinisikan. Titik dimana fungsi takkontinu disebut titik ketakkontinuan atau diskontinuitas.^[8]

Banyak fungsi yang ditemui umumnya memiliki domain berupa seluruh bilangan real, kecuali untuk beberapa titik pencil. Contoh fungsi jenis ini adalah fungsi ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ dan ${\displaystyle x\mapsto \tan x.}$ Ketika dibahas dalam konteks domain mereka, fungsi jenis ini dapat dikatakan kontinu, walaupun tidak kontinu dimanapun. Dalam konteks lain, khususnya perilaku fungsi di sekitar titik-titik istimewa seperti ${\displaystyle x=0}$ untuk ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$, fungsi jenis ini termasuk fungsi takkontinu.

Menggunakan notasi matematika, ada beberapa cara untuk mendefinisikan fungsi kontinu berdasarkan tiga sudut pandang yang disebutkan di atas. Untuk itu, misalkan$${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} \quad }$$adalah fungsi yang terdefinisi pada suatu subset ${\displaystyle D}$ dari himpunan bilangan real ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Subset ${\displaystyle D}$ ini adalah domain dari ${\displaystyle f}$. Ketiga sudut pandang kekontinuan ada pada bentuk domain:

• ${\displaystyle D=\mathbb {R} }$, yakni ${\displaystyle D}$ adalah keseluruhan himpunan bilangan real; atau untuk suatu bilangan real ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$,
• ${\displaystyle D=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}$: ${\displaystyle D}$ berupa selang tutup, atau
• ${\displaystyle D=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}}$: ${\displaystyle D}$ berupa selang buka.

Pada kasus domain ${\displaystyle D}$ didefinisikan sebagai suatu selang buka, titik ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ tidak berada di ${\displaystyle D}$, dan nilai dari ${\displaystyle f(a)}$ dan ${\displaystyle f(b)}$ tidak mempengaruhi kekontinuan fungsi pada ${\displaystyle D}$.

Fungsi ${\displaystyle f}$ dikatakan kontinu di titik ${\displaystyle c}$ di domainnya, jika limit dari ${\displaystyle f(x)}$ ketika ${\displaystyle x}$ menuju ${\displaystyle c}$ melalui domain ${\displaystyle f}$, ada nilainya dan sama dengan ${\displaystyle f(c).}$^[9] Dalam notasi matematika, hal ini ditulis sebagai$${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=f(c).}$$Definisi ini berlaku bagi ketiga sudut pandang. Secara teknis, terdapat tiga hal yang perlu dipenuhi agar fungsi bersifat kontinu. Pertama, ${\displaystyle f}$ perlu terdefinisi di ${\displaystyle c}$ (sudah dijamin karena ${\displaystyle c}$ berada di domain ${\displaystyle f}$). Kedua, nilai limit pada sisi kiri persamaan di atas harus ada. Ketiga, nilai dari limit ini harus sama dengan ${\displaystyle f(c).}$ Dalam definisi ini, diasumsikan bahwa domain dari ${\displaystyle f}$ tidak memiliki titik-titik pencil.^[10]

Sebuah lingkungan dari suatu titik ${\displaystyle c}$ adalah himpunan yang berisi, setidaknya, semua titik yang jaraknya dengan ${\displaystyle c}$ sama besar. Secara intuitif, sebuah fungsi bersifat kontinu di titik ${\displaystyle c}$ jika semua lingkungan (yang merupakan subset dari citra ${\displaystyle f}$) dari ${\displaystyle c}$ akan mengecil menjadi sebuah titik ${\displaystyle f(c)}$, ketika lebar lingkungan dari ${\displaystyle c}$ mengecil ke nol. Menyatakan dengan lebih rinci, sebuah fungsi ${\displaystyle f}$ kontinu di titik ${\displaystyle c}$ di domainnya, jika untuk sembarang lingkungan ${\displaystyle N_{1}(f(c))}$ ada suatu lingkungan ${\displaystyle N_{2}(c)}$ di domain fungsi tersebut, sehingga ${\displaystyle f(x)\in N_{1}(f(c))}$ kapanpun ${\displaystyle x\in N_{2}(c).}$

Definisi ini hanya memerlukan domain dan kodomainnya merupakan ruang topologis, menjadikannya definisi yang paling umum. Dari definisi ini disimpulkan fungsi ${\displaystyle f}$ secara otomatis bersifat kontinu di setiap titik pencil fungsi tersebut. Sebagai contoh spesifik, semua fungsi bernilai real dengan domain himpunan bilangan bulat adalah fungsi kontinu.

Fungsi kontinu juga dapat didefinisikan dengan mengharuskan semua barisan ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ dari titik-titik di domain fungsi, yang konvergen ke titik ${\displaystyle c}$, akan menyebabkan barisan ${\displaystyle \left(f(x_{n})\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergen ke ${\displaystyle f(c).}$ Dalam notasi matematika, definisi ini dapat dituliskan sebagai,$${\displaystyle \forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)\,.}$$

Dengan menyertakan secara eksplisit definisi limit fungsi ke dalam definisi kekontinuan, fungsi kontinu dapat dijelaskan tanpa perlu merujuk ke konsep limit. Dalam definisi ini, misalkan sebuah fungsi ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ yang didefinisikan pada bagian di atas, dan sebuah titik ${\displaystyle x_{0}}$ di domain ${\displaystyle D}$. Fungsi ${\displaystyle f}$ dikatakan kontinu di titik ${\displaystyle x_{0}}$ jika kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ sekecil apapun itu, akan ada suatu bilangan ${\displaystyle \delta >0}$ sehingga untuk semua ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle D}$ dengan ${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta ,}$ berlaku$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .}$$Definisi tersebut dapat ditulis ulang: fungsi ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ kontinu di ${\displaystyle x_{0}\in D}$ mengartikan untuk setiap ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ada sebuah ${\displaystyle \delta >0}$ sehingga untuk semua ${\displaystyle x\in D}$:$${\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta ~~{\text{ mengakibatkan }}~~|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$$Secara intuitif, jika seseorang ingin membuat semua nilai ${\displaystyle f(x)}$ berada di dalam suatu lingkungan kecil di sekitar ${\displaystyle f\left(x_{0}\right),}$ ia cukup memilih sebuah lingkungan yang cukup kecil bagi nilai ${\displaystyle x}$ di sekitar titik ${\displaystyle x_{0}.}$ Bila proses ini dapat dilakukan seberapapun kecilnya lingkungan untuk ${\displaystyle f(x)}$, maka ${\displaystyle f}$ kontinu di ${\displaystyle x_{0}.}$

Weierstrass mengharuskan selang ${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta }$ seluruhnya berada di dalam domain ${\displaystyle D}$, namun Jordan menunjukkan syarat ini dapat dihilangkan.

Dalam penulisan bukti dan analisis matematika, terkadang dibutuhkan pemahaman mengenai seberapa cepat limit suatu fungsi akan konvergen. Salah satu cara mengetahuinya adalah dengan mengontrol nilai selisih. Konsep ini dapat diformalkan menjadi sebuah definisi untuk kekontinuan. Sebuah fungsi ${\displaystyle C:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$ disebut sebagai fungsi kontrol, jika

• ${\displaystyle C}$ adalah fungsi tak-turun
• ${\displaystyle \inf _{\delta >0}C(\delta )=0}$

Sebuah ${\displaystyle f:D\to R}$ dikatakan kontinu-${\displaystyle C}$ di ${\displaystyle x_{0}}$, jika untuk setiap ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle D}$ berlaku$${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|\leq C\left(\left|x-x_{0}\right|\right)}$$Sebuah fungsi ${\displaystyle f}$ dikatakan kontinu di ${\displaystyle x_{0}}$ jika fungsi tersebut kontinu-${\displaystyle C}$ untuk suatu fungsi kontrol ${\displaystyle C}$. Pendekatan ini memungkinkan untuk memperlengkap konsep kekontinuan dengan menyertakan himpunan fungsi kontrol yang dipenuhi ${\displaystyle f}$. Untuk sebuah himpunan fungsi kontrol ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, sebuah fungsi disebut kontinu-${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ jika fungsi tersebut kontinu-${\displaystyle C}$ untuk suatu ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$. Sebagai contoh, fungsi Lipschitz dan fungsi kontinu Hölder dengan pangkat α dapat didefinisikan dengan menggunakan himpunan fungsi kontrol$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {Lipschitz} }=\{C:C(\delta )=K|\delta |,\ K>0\}}$$Mirip dengan itu,$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{{\text{Hölder}}-\alpha }=\{C:C(\delta )=K|\delta |^{\alpha },\ K>0\}.}$$

Proses mengecek kekontinuan suatu fungsi dapat disederhanakan dengan memeriksa syarat-syarat kekontinuan pada bagian-bagian fungsi. Dapat dibuktikan bahwa penjumlahan dua fungsi yang kontinu pada suatu domain, akan menghasilkan fungsi yang juga kontinu pada domain tersebut. Misalkan${\displaystyle f,g\colon D\to \mathbb {R} ,}$ hasil penjumlahan fungsi-fungsi kontinu$${\displaystyle s=f+g}$$yang didefinisikan oleh ${\displaystyle s(x)=f(x)+g(x)}$ untuk setiap ${\displaystyle x\in D}$, adalah sebuah fungsi kontinu di ${\displaystyle D.}$ Sifat yang serupa juga berlaku untuk hasil perkalian fungsi-fungsi kontinu,$${\displaystyle p=f\cdot g}$$yang didefinisikan oleh ${\displaystyle p(x)=f(x)\cdot g(x)}$ untuk setiap ${\displaystyle x\in D}$, adalah sebuah fungsi kontinu di ${\displaystyle D.}$ Dengan mengombinasikan kedua sifat tersebut, dapat dibuktikan bahwa semua fungsi polinomial di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bersifat kontinu, sebagai contoh fungsi ${\displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}$, dengan menggunakan fakta fungsi konstan dan fungsi identitas ${\displaystyle I(x)=x}$ bersifat kontinu di ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Dengan menggunakan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa hasil kebalikan dari sebuah fungsi kontinu$${\displaystyle r=1/f}$$yang didefinisikan oleh ${\displaystyle r(x)=1/f(x)}$ untuk setiap ${\displaystyle x\in D}$ yang memenuhi ${\displaystyle f(x)\neq 0}$, adalah fungsi yang kontinu di ${\displaystyle D\setminus \{x:f(x)=0\}.}$ Hal ini mengakibatkan fungsi pecahan dari fungsi-fungsi kontinu$${\displaystyle q=f/g}$$yang didefinisikan oleh ${\displaystyle q(x)=f(x)/g(x)}$ untuk setiap ${\displaystyle x\in D}$ yang memenuhi ${\displaystyle g(x)\neq 0}$, bersifat kontinu kecuali di akar-akar dari ${\displaystyle g(x)}$. Domain dari ${\displaystyle q(x)}$ adalah ${\displaystyle D\setminus \{x:g(x)=0\}}$. Sebagai contoh, fungsi (lihat gambar)$${\displaystyle y(x)={\frac {2x-1}{x+2}}}$$terdefinisi dan kontinu untuk semua bilangan real ${\displaystyle x\neq -2}$, menyebabkan fungsi tersebut kontinu. Diskusi mengenai kekontinuan fungsi di titik ${\displaystyle x=-2}$ tidak muncul, karena ${\displaystyle x=-2}$ bukan anggota domain dari ${\displaystyle y.}$ Tidak ada fungsi ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ yang kontinu dan nilainya sama dengan ${\displaystyle y(x)}$ untuk semua ${\displaystyle x\neq -2}$.

Contoh lain adalah fungsi ${\displaystyle G(x)=\sin(x)/x,}$ yang terdefinisi dan kontinu untuk bilangan real ${\displaystyle x\neq 0.}$ Tetapi, berbeda dengan contoh sebelumnya, fungsi ${\displaystyle G(x)}$ dapat diperluas menjadi sebuah fungsi kontinu pada semua bilangan real. Hal ini dilakukan dengan mendefinisikan nilai ${\displaystyle G(0)}$ sebagai 1, yakni nilai limit dari ${\displaystyle G(x)}$ ketika ${\displaystyle x}$ menuju 0. Dengan kata lain,$${\displaystyle G(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$$Sehingga, dengan membuat

$${\displaystyle G(x)={\begin{cases}{\frac {\sin(x)}{x}}&{\text{ jika }}x\neq 0\\1&{\text{ jika }}x=0,\end{cases}}}$$

fungsi ${\displaystyle G(x)}$ bersifat kontinu pada semua bilangan real. Istilah ketakkontinuan terhapuskan^[11] digunakan untuk menyebut titik takkontinu yang dapat didefinisikan (ulang) agar fungsi bersifat kontinu di titik tersebut.

Konstruksi fungsi kontinu yang lebih rumit melibatkan komposisi fungsi. Misalkan dua fungsi kontinu$${\displaystyle g:D_{g}\subseteq \mathbb {R} \to R_{g}\subseteq \mathbb {R} \quad {\text{ dan }}\quad f:D_{f}\subseteq \mathbb {R} \to R_{f}\subseteq D_{g},}$$fungsi komposisi keduanya, yang dituliskan sebagai ${\displaystyle c=g\circ f:D_{f}\to R_{g}}$ dan didefinisikan oleh ${\displaystyle c(x)=g(f(x)),}$ adalah fungsi kontinu. Konstruksi ini dapat digunakan untuk membuktikan, sebagai contoh fungsi ${\displaystyle e^{\sin(\ln x)}}$, bersifat kontinu untuk semua ${\displaystyle x>0.}$

Sebuah contoh dari fungsi takkontinu adalah fungsi tangga Heaviside ${\displaystyle H}$, yang didefinisikan sebagai

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{ jika }}x\geq 0\\0&{\text{ jika }}x<0\end{cases}}}$

Untuk mengetahui penyebab ketakkontinuan dari fungsi, pilih, sebagai contoh, nilai ${\displaystyle \varepsilon =1/2}$. Tidak ada lingkungan-${\displaystyle \delta }$ sekitar ${\displaystyle x=0}$, dalam kata lain tidak ada selang buka ${\displaystyle (-\delta ,\;\delta )}$ dengan ${\displaystyle \delta >0,}$ yang membuat semua nilai ${\displaystyle H(x)}$ berada di dalam lingkungan-${\displaystyle \varepsilon }$ sekitar ${\displaystyle H(0)}$, yaitu selang ${\displaystyle (1-{\tfrac {1}{2}},\;1+{\tfrac {1}{2}})}$. Secara intuitif, titik ini adalah tipe ketakkontinuan berupa "loncatan" pada nilai fungsi.

Mirip dengan contoh sebelumnya, fungsi tanda atau fungsi signum,

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ jika }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ jika }}x=0\\-1&{\text{ jika }}x<0\end{cases}}}$

takkontinu di ${\displaystyle x=0}$ namun kontinu dimanapun selain titik itu. Contoh lain lagi adalah fungsi

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left(x^{-2}\right)&{\text{ jika }}x\neq 0\\0&{\text{ jika }}x=0\end{cases}}}$

yang juga kontinu dimanapun selain titik ${\displaystyle x=0}$.

Selain sejumlah bentuk kekontinuan dan ketakkontinuan di atas, terdapat fungsi dengan perilaku yang "diluar nalar", sebagai contoh adalah fungsi Thomae$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ jika }}x=0\\{\frac {1}{q}}&{\text{ jika }}x={\frac {p}{q}}{\text{(dalam bentuk paling sederhana) adalah bilangan rasional}}\\0&{\text{ jika }}x{\text{ bilangan irasional}}.\end{cases}}}$$bersifat kontinu di semua bilangan irasional namun takkontinu di semua bilangan rasional. Contoh lain adalah fungsi Dirichlet, yakni fungsi indikator untuk himpunan bilangan rasional,$${\displaystyle D(x)={\begin{cases}0&{\text{ jika }}x{\text{ irasional }}(\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\\1&{\text{ jika }}x{\text{ rasional }}(\in \mathbb {Q} )\end{cases}}}$$adalah fungsi takkontinu dimanapun.

Misalkan ${\displaystyle f(x)}$ adalah fungsi yang kontinu di suatu titik ${\displaystyle x_{0},}$ dan ${\displaystyle y_{0}}$ adalah nilai yang memenuhi ${\displaystyle y_{0}\neq f\left(x_{0}\right).}$ Maka akan berlaku ${\displaystyle f(x)\neq y_{0}}$ pada semua titik pada suatu lingkungan dari ${\displaystyle x_{0}.}$^[12] Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi dari kekontinuan: dengan memilih ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}>0}$ , akan ada ${\displaystyle \delta >0}$ sehingga$${\displaystyle \left|f(x)-f(x_{0})\right|<{\frac {\left|y_{0}-f(x_{0})\right|}{2}}\quad {\text{ kapanpun }}\quad |x-x_{0}|<\delta .}$$Anggap ada sebuah titik di lingkungan ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$ yang memenuhi ${\displaystyle f(x)=y_{0};}$ akan didapati sebuah kontradiksi, karena mengakibatkan$${\displaystyle \left|f(x_{0})-y_{0}\right|<{\frac {\left|f(x_{0})-y_{0}\right|}{2}}.}$$

Teorema nilai antara adalah sebuah teorema keberadaan, yang didasarkan pada sifat kelengkapan (completeness) dari bilangan real. Teorema ini menyatakan:

Jika fungsi bernilai real ${\displaystyle f}$ kontinu pada selang tutup ${\displaystyle [a,b],}$ dan ${\displaystyle k}$ adalah suatu bilangan di antara ${\displaystyle f(a)}$ dan ${\displaystyle f(b),}$ maka ada bilangan ${\displaystyle c\in [a,b]}$ yang memenuhi ${\displaystyle f(c)=k.}$

Sebagai ilustrasi teorema ini, misalkan seorang anak yang bertambah tinggi dari 1 m pada usia dua tahun menjadi 1,5 m pada usia enam tahun. Akan ada waktu di antara tahun kedua dan tahun keenam, ketika tinggi anak tersebut sama dengan 1,25 m.

Salah satu akibat teorema ini, jika ${\displaystyle f}$ kontinu pada ${\displaystyle [a,b]}$ dan ${\displaystyle f(a)}$ dan ${\displaystyle f(b)}$ berbeda tanda, maka ada titik ${\displaystyle c\in [a,b]}$ sehingga ${\displaystyle f(c)}$ bernilai nol. Dengan kata lain, fungsi ${\displaystyle f}$ memiliki akar pada selang ${\displaystyle [a,b].}$

Teorema nilai ekstrem menyatakan jika sebuah fungsi ${\displaystyle f}$ terdefinisi pada suatu selang tutup ${\displaystyle [a,b]}$ (atau sembarang himpunan tertutup dan terbatas) dan kontinu di domain itu, maka fungsi memilliki nilai maksimum. Dengan kata lain, ada nilai ${\displaystyle c\in [a,b]}$ dengan ${\displaystyle f(c)\geq f(x)}$ untuk setiap ${\displaystyle x\in [a,b].}$ Teorema yang sama juga berlaku untuk nilai minimum dari ${\displaystyle f.}$ Teorema ini secara umum tidak berlaku untuk fungsi dengan domain ${\displaystyle (a,b)}$ (atau sembarang himpunan yang tidak tertutup sekaligus terbatas). Sebagai contoh, fungsi kontinu ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ yang terdefinisi pada interval buka ${\displaystyle (0,\,1)}$ tidak memiliki nilai maksimum, karena nilai fungsi tidak terbatas dari atas.

Dapat ditunjukkan bahwa semua fungsi terdiferensialkan ${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$ bersifat kontinu. Namun, kebalikannya tidak berlaku: sebagai contoh, fungsi nilai mutlak$${\displaystyle f(x)=|x|={\begin{cases}\;\;\ x&{\text{ jika }}x\geq 0\\-x&{\text{ jika }}x<0\end{cases}}}$$yang kontinu dimanapun. Fungsi ini tidak terdiferensialkan di ${\displaystyle x=0}$ (namun terdiferensialkan di semua titik selain ini). Fungsi Weierstrass adalah contoh dari fungsi yang kontinu dimanapun namun takkontinu dimanapun.

Turunan ${\displaystyle f'(x)}$ dari fungsi ${\displaystyle f(x)}$ tidak harus bersifat kontinu. Jika ${\displaystyle f'(x)}$ kontinu, fungsi ${\displaystyle f(x)}$ dikatakan terdiferensialkan [secara] kontinu. Himpunan dari fungsi-fungsi jenis ini dinyatakan dengan ${\displaystyle C^{1}.}$ Secara umum, himpunan fungsi ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ (dengan ${\displaystyle \Omega }$ berupa selang buka) yang dapat diturunkan sebanyak ${\displaystyle n}$ kali dan turunan ke-${\displaystyle n}$ dari ${\displaystyle f}$ bersifat kontinu, dinotasikan dengan ${\displaystyle C^{n}(\Omega ).}$ Dalam bidang grafika komputer, sifat-sifat yang berkaitan (namun tidak sama) dengan ${\displaystyle C^{0},C^{1},C^{2}}$ terkadang disebut ${\displaystyle G^{0}}$ (kekontinuan posisi), ${\displaystyle G^{1}}$ (kekontinuan garis singgung), dan ${\displaystyle G^{2}}$ (kekontinuan kelengkungan/kurvatur).

Setiap fungsi kontinu ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ dapat diintegralkan, sebagai contoh dalam konteks integral Riemann. Kebalikannya tidak berlaku, seperti yang ditunjukkan oleh fungsi tanda; contoh fungsi terintegralkan namun takkontinu.

Konsep fungsi bernilai real kontinu dapat perumum untuk fungsi antar ruang metrik. Ruang metrik adalah sebuah himpunan ${\displaystyle X}$ yang dilengkapi dengan sebuah fungsi ${\displaystyle d_{X}}$ (disebut metrik); fungsi ini dapat dianggap sebagai ukuran jarak antara dua elemen di ${\displaystyle X}$. Secara formal, metrik adalah fungsi

${\displaystyle d_{X}\colon X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$

yang memenuhi sejumlah persyaratan, terutama pertidaksamaan segitiga. Untuk sembarang dua ruang metrik ${\displaystyle (X,\,d_{X})}$ dan ${\displaystyle (Y,\,d_{Y})}$, sebuah fungsi

${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y,}$

dikatakan kontinu (terhadap metrik yang digunakan) di titik ${\displaystyle c\in X}$, jika untuk sembarang bilangan real positif ${\displaystyle \varepsilon }$ akan terdapat bilangan real positif ${\displaystyle \delta }$, sehingga semua nilai ${\displaystyle x\in X}$ yang memenuhi ${\displaystyle d_{X}(x,\,c)<\delta }$ juga akan memenuhi ${\displaystyle d_{Y}(f(x),\,f(c))<\varepsilon }$. Seperti pada kasus fungsi real di bagian sebelumnya, definisi ini setara dengan syarat bahwa untuk setiap barisan ${\displaystyle (x_{n})\in X}$ dengan nilai limit ${\displaystyle \lim x_{n}=c}$, haruslah ${\displaystyle \lim f(x_{n})=f(c)}$. Syarat ini dapat diperlemah menjadi: fungsi ${\displaystyle f}$ kontinu jika dan hanya jika untuk setiap barisan ${\displaystyle (x_{n})\in X}$ yang konvergen ke ${\displaystyle c}$ (dan ${\displaystyle c}$ berada di domain${\displaystyle f}$), barisan ${\displaystyle (f(x_{n}))}$ adalah barisan Cauchy.

Himpunan titik dimana sebuah fungsi antar ruang metrik bersifat kontinu disebut dengan himpunan ${\displaystyle G_{\delta }}$, yang berasal dari definisi kekontinuan menggunakan epsilon-delta.

Salah satu contoh penggunaan konsep kekontinuan ini ada di analisis fungsional. Sebuah definisi yang penting dalam cabang matematika ini menyatakan bahwa: sebuah operator linear$${\displaystyle T:V\to W}$$antar ruang vektor bernorma ${\displaystyle V}$ dan ${\displaystyle W}$ (yakni ruang vektor yang dilengkapi suatu norma ${\displaystyle \|x\|}$) bersifat kontinu jika dan hanya jika operator tersebut terbatas, yakni terdapat konstanta ${\displaystyle K}$ yang menyebabkan$${\displaystyle \|T(x)\|\leq K\|x\|}$$untuk semua ${\displaystyle x\in V.}$

Konsep kekontinuan fungsi antar ruang metrik pada bagian sebelumnya, dapat diperkuat dengan membatasi bagaimana nilai ${\displaystyle \delta }$ terikat pada ${\displaystyle \varepsilon }$ dan titik ${\displaystyle c}$; yang dapat dilakukan dalam berbagai cara. Secara informal, fungsi ${\displaystyle f}$ disebut kontinu seragam jika pemilihan nilai ${\displaystyle \delta }$ tidak tergantung pada titik ${\displaystyle c}$. Lebih tepatnya, fungsi kontinu seragam perlu memenuhi kondisi berikut: untuk setiap bilangan real ${\displaystyle \varepsilon >0}$ akan ada ${\displaystyle \delta >0}$ sehingga untuk setiap ${\displaystyle c,b\in X}$ yang memenuhi ${\displaystyle d_{X}(b,c)<\delta }$, juga akan memenuhi ${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))<\varepsilon }$. Jadi, setiap fungsi yang kontinu seragam adalah fungsi kontinu. Kebalikannya tidak berlaku secara umum, tetapi berlaku bila domain ${\displaystyle X}$ berupa ruang kompak. Peta kontinu seragam dapat didefinisikan dalam situasi ruang seragam yang lebih umum.^[13]

Sebuah fungsi disebut kontinu Hölder pangkat ${\displaystyle \alpha }$ (berupa bilangan real) jika ada konstanta ${\displaystyle K}$ sehingga untuk semua ${\displaystyle b,c\in X}$ akan berlaku pertidaksamaan

${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot (d_{X}(b,c))^{\alpha }}$

Semua fungsi kontinu Hölder bersifat kontinu seragam. Kasus khusus ${\displaystyle \alpha =1}$ disebut sebagai kekontinuan Lipschitz. Artinya, suatu fungsi kontinu Lipschitz jika ada konstanta ${\displaystyle K}$ sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan

${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot d_{X}(b,c)}$

berlaku untuk sembarang ${\displaystyle b,c\in X}$.^[14] Kondisi Lipschitz digunakan contohnya dalam teorema Picard – Lindelöf yang membahas tentang solusi persamaan diferensial biasa.

Jika fungsi ${\displaystyle f:S\to Y}$ adalah suatu fungsi kontinu dari suatu subset ${\displaystyle S}$ dari ruang topologis ${\displaystyle X}$ maka perluasan kontinu dari ${\displaystyle f}$ ke ${\displaystyle X}$ adalah sembarang fungsi kontinu ${\displaystyle F:X\to Y}$ dengan ${\displaystyle F(s)=f(s)}$ untuk setiap ${\displaystyle s\in S;}$ kondisi ini sering ditulis sebagai ${\displaystyle f=F{\big \vert }_{S}.}$ Secara informal, itu adalah sembarang fungsi ${\displaystyle F:X\to Y}$ yang membatasi ${\displaystyle f}$ pada ${\displaystyle S.}$ Konsep ini digunakan, sebagai contoh, dalam teorema perluasan Tietze dan teorema Hahn–Banach. Jika ${\displaystyle f:S\to Y}$ tidak kontinu maka tidak mungkin fungsi tersebut memiliki perluasan kontinu. Jika ${\displaystyle Y}$ adalah suatu ruang Hausdorff dan ${\displaystyle S}$ adalah himpunan rapat dari ${\displaystyle X}$ maka fungsi perluasan kontinu dari ${\displaystyle f:S\to Y}$ ke ${\displaystyle X,}$ jika itu ada, bersifat unik.

Banyak cabang matematika lainnya menggunakan konsep kekontinuan dalam konteks berbeda, namun memiliki makna yang mirip. Sebagai contoh, dalam teori urutan, fungsi kekal-urutan(order-preserving function) ${\displaystyle f:X\to Y}$ antar jenis himpunan terurut parsial tertentu ${\displaystyle X}$ dan ${\displaystyle Y}$, dikatakan kontinu jika untuk setiap himpunan berarah ${\displaystyle A}$ dari ${\displaystyle X}$, berlaku hubungan ${\displaystyle \sup f(A)=f(\sup A).}$ Notasi ${\displaystyle \,\sup \,}$ tersebut masing-masing menyatakan supremum terhadap urutan dalam ${\displaystyle X}$ dan ${\displaystyle Y}$. Konsep kekontinuan ini sama kekontinuan topologis ketika himpunan urutan parsial merupakan subset dari topologi Scott.^{[sumber mendukung?][15][16]}

Dalam teori kategori, sebuah fungtor$${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$$antar dua kategori dikatakan kontinu, jika fungsi tersebut komutatif dengan limit yang kecil. Secara matematis,$${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}F(C_{i})\cong F\left(\varprojlim _{i\in I}C_{i}\right)}$$untuk sembarang diagram yang kecil (yaitu, yang diindeks dengan sebuah himpunan ${\displaystyle I}$, bukan sebuah kelas) dari objek di ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Sebuah ruang kekontinuan adalah perumuman dari ruang metrik dan poset,^[17][18] dan dapat digunakan untuk menyatukan konsep dari ruang metrik dan domain.^[19]

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Fungsi kontinu", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4