Persamaan diferensial eksak

Persamaan diferensial eksak atau persamaan diferensial total adalah salah satu jenis persamaan diferensial biasa yang sering digunakan dalam ilmu fisika dan teknik.

Dengan D=R² dan dua fungsi I dan J yang bersifat kontinu di D, maka persamaan diferensial biasa orde pertama berikut

${\displaystyle I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!}$

disebut persamaan diferensial eksak jika terdapat fungsi F yang dapat diturunkan secara terus menerus yang disebut fungsi potensial, sehingga

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=I}$

dan

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=J.}$

Tata nama "persamaan diferensial eksak" mengacu kepada turunan eksak suatu fungsi. Untuk fungsi ${\displaystyle F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})}$, turunan eksak sehubungan dengan ${\displaystyle x_{0}}$ adalah

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}.}$

Fungsi ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ berupa

${\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})}$

merupakan fungsi potensial untuk persamaan diferensial

${\displaystyle x\,\mathrm {d} x+y\,\mathrm {d} y=0.\,}$

Jika terdapat persamaan diferensial eksak dengan definisi D=R² dengan fungsi potensial F, maka fungsi yang dapat diturunkan f dengan (x, f(x)) dalam D adalah penyelesaiannya jika dan hanya jika terdapat bilangan riil c sehingga

${\displaystyle F(x,f(x))=c.\,}$

Untuk permasalahan nilai awal

${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}\,}$

Fungsi potensial dapat dicari dengan Cara

${\displaystyle F(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})\mathrm {d} t+\int _{y_{0}}^{y}J(x,t)\mathrm {d} t=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})\mathrm {d} t+\int _{y_{0}}^{y}\left[J(x_{0},t)+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\partial I}{\partial t}}(u,t)\,\mathrm {d} u\,\right]\mathrm {d} t.}$

yang menyelesaikan

${\displaystyle F(x,y)=c\,}$

untuk y, di mana c adalah bilangan riil.

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1986). Elementary Differential Equations (4th ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-07894-8