El análisis de la covarianza o ANCOVA, acrónimo del inglés analysis of covariance, es un modelo lineal general con una variable cuantitativa y uno o más factores. El ANCOVA es una fusión del ANOVA y de la regresión lineal múltiple. Es un procedimiento estadístico que permite eliminar la heterogeneidad causada en la variable de interés (variable dependiente) por la influencia de una o más variables cuantitativas (covariables). Básicamente, el fundamento del ANCOVA es un ANOVA al que a la variable dependiente se le ha eliminado el efecto predicho por una o más covariables por regresión lineal múltiple. La inclusión de covariables puede aumentar la potencia estadística porque a menudo reduce la variabilidad.
Ecuaciones
ANCOVA de un factor
El análisis de un factor es apropiado cuando se dispone de tres o más grupos. En los diseños equilibrados, cada grupo tiene el mismo número de datos (individuos), los cuales idealmente han sido asignados al azar a cada grupo a partir de una muestra original preferiblemente homogénea.
Calculando la suma de las desviaciones al cuadrado para la variable independiente X y la variable dependiente Y
Las sumas de las desviaciones al cuadrado o sumas de cuadrados (SS):
,
, y
deben ser calculadas usando las siguientes ecuaciones para la variable dependiente, Y. La SS para la covariable también debe ser calculada; los dos valores necesarios son
y
.
La suma de cuadrados total define una la variabilidad del total de individuos
:
![{\displaystyle SST_{y}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}^{2}-{\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}\right)^{2}}{n_{T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b669b4c8c53090a60b170fa451f14ca14d883f)
La suma de cuadrados para los tratamientos define la variabilidad entre las poblaciones o grupos.
representa el número de grupos.
![{\displaystyle SSTr_{y}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}^{2}}{k}}\right)-{\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}\right)^{2}}{n_{T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc663367e23d8892878e02de0df0a850fb46dfc)
La suma de cuadrados del error define la variabilidad residual dentro de cada grupo.
representa el número de individuos en un grupo dado:
![{\displaystyle SSE_{y}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}^{2}-\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}^{2}}{n_{k}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae120bb86b1546f89f26f24e8f83a81af24bc35)
La suma de cuadrados total es igual a la suma de cuadrados de los tratamientos y la suma de cuadrados del error (propiedad de aditividad de las sumas de cuadrados y de los grados de libertad, característica del ANOVA).
![{\displaystyle SST_{y}=SSTr_{y}+SSE_{y}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f55b820a10496711a86652b3607e772710a2bcb)
Cálculo de la covarianza de X e Y
La sumas de las covarianzas (
y
) definen la covarianza de X e Y.
![{\displaystyle SCT=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}X_{ij}Y_{ij}-{\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}X_{ij}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}\right)}{n_{T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab4ff6963c53569ade675b434405da52e230079)
![{\displaystyle SCE=\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{i=1}^{n}X_{ij}Y_{ij}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{ij}Y_{ij})}{n_{n}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27982435870020717c319fbd6199d12a808a26e8)
Ajuste de SSTy
Las correlaciones entre X e Y son
para el total y
para el error.
![{\displaystyle r_{T}={\frac {SCT}{\sqrt {SST_{x}SST_{y}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98360f005f292e776e182ea557b97c79e2cc41de)
![{\displaystyle r_{n}={\frac {SCE}{\sqrt {SSE_{x}SSE_{y}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c5d2a7961217d9c081236fb9c95806c7a5237a)
La proporción de covarianza es sustraída de la dependiente; valores de
:
![{\displaystyle SST_{y(adj)}=SST_{y}-SST_{y}(r_{T})^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2fe193046540bf4d8cfc26ef1e78928046667d5)
![{\displaystyle SSE_{y(adj)}=SSE_{y}-SSE_{y}(r_{n})^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ab333c7a43b4770bbf994d1a71d2366a8d0964)
![{\displaystyle SSTr_{y(adj)}=SST_{y(adj)}-SSE_{y(adj)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f8c8288cceaf5009cbbb82709b64ca8bfb4486)
La media de cada grupo es ajustada del siguiente modo:
![{\displaystyle M_{y_{i}(adj)}=M_{y_{i}}-{\frac {SCE_{y}}{SCE_{x}}}(M_{x_{i}}-M_{x_{T}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e90cc22be5d6cd1c5c36d51107d7a14c8492714)
Análisis usando los valores de la suma de cuadrados
Finalmente obtenemos la varianza de los tratamientos libre de la covarianza, donde
(grados de libertad de los tratamientos) es igual a
y
(grados de libertad del error) es igual a
. Puede apreciarse que cada covariable elimina un grado de libertad.
![{\displaystyle MSTr={\frac {SSTr}{df_{Tr}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c55a292cd8e7bf40880403d2ec96a4cb94f8345)
![{\displaystyle MSE={\frac {SSE}{df_{E}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ae337374bbcd845aa5e6906394168a3254c602)
El estadístico F se obtiene de:
![{\displaystyle F_{df_{E},df_{\mathrm {Tr} }}={\frac {MSTr}{MSE}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a116df4e50d910428bfea1c52d3ccc3d4b0851b8)
Véase también
Enlaces externos