En matemáticas, normalmente hay muchas formas diferentes de construir un producto tensorial topológico de dos espacios vectoriales topológicos. Para espacios de Hilbert o espacios nucleares existe una teoría sencilla con buen comportamiento del producto tensorial (véase producto tensorial de espacios de Hilbert), pero para espacios de Banach o espacios vectoriales topológicos convexos generales la teoría es notoriamente sutil.
Motivación
Una de las motivaciones originales de los productos tensoriales topológicos
es el hecho de que los productos tensoriales de los espacios de funciones suaves de valores reales en
no se comportan como se esperaba. Existe una inyección
![{\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\hookrightarrow C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2956ad94a887beefdfdc1e1d26d9a4440d089f63)
pero este no es un isomorfismo. Por ejemplo, la función
no se puede expresar como una combinación lineal finita de funciones suaves en
[1]
Solo se obtiene un isomorfismo después de construir el producto tensorial topológico; es decir,
![{\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mathop {\hat {\otimes }} C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\cong C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2547d1e5a34170e91d08292ca718783d5be0eba)
Este artículo detalla primero la construcción en el caso de los espacios de Banach. El espacio
no es un espacio de Banach, y al final se analizan más casos.
Productos tensoriales de espacios de Hilbert
El producto tensorial algebraico de dos espacios de Hilbert A y B tiene una forma sesquilineal (producto escalar) definido positivo natural inducido por las formas sesquilineales de A y B. Entonces, en particular, posee una forma cuadrática definida positiva natural, y la completación correspondiente es un espacio de Hilbert A ⊗ B, llamado producto tensorial (espacio de Hilbert) de A y B.
Si los vectores ai y bj son bases ortonormales de A y de B, entonces los vectores ai⊗bj forman una base ortonormal de A ⊗ B.
Normas cruzadas y productos tensoriales de espacios de Banach
Se usará la notación de (Ryan, 2002) en esta sección. La forma obvia de definir el producto tensorial de dos espacios de Banach
y
es emplear el método de los espacios de Hilbert: definir una norma en el producto tensorial algebraico y luego completar el espacio con esta norma. El problema es que existe más de una forma natural de definir una norma sobre el producto tensorial.
Si
y
son espacios de Banach, el producto tensorial algebraico de
y
significa el producto tensorial de
y
como espacios vectoriales y se denota por
. El producto tensorial algebraico
consta de todas las sumas finitas
![{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500f4a75b7a6d9b4d271e2abfa6546e9a25f6e2a)
donde
es un número natural que depende de
y
y
para
Cuando
y
son espacios de Banach, una norma cruzada (o
) en el producto tensorial algebraico
es una norma que satisface las condiciones
![{\displaystyle p(a\otimes b)=\|a\|\|b\|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0f9d165595a51ac3883631666c414558c868c3)
![{\displaystyle p'(a'\otimes b')=\|a'\|\|b'\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f7dfe8c83b28165addca84aff94700650d2357)
Aquí
y
son elementos de espacios duales topológicos de
y
respectivamente, y
es normal dual de
El término norma cruzada razonable también se utiliza para la definición anterior.
Existe una norma cruzada
llamada norma cruzada proyectiva, dada por
![{\displaystyle \pi (x)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}\|a_{i}\|\|b_{i}\|:x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb5d8d47a787396ff0fc65b3f02ade6078fcad1)
donde
Resulta que la norma cruzada proyectiva concuerda con la norma cruzada más grande ((Ryan, 2002), proposición 2.1).
Existe una norma cruzada
llamada norma cruzada inyectiva, dada por
![{\displaystyle \varepsilon (x)=\sup \left\{\left|(a'\otimes b')(x)\right|:a'\in A',b'\in B',\|a'\|=\|b'\|=1\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ad650040c45a8d4c8dcade7eeabb1e946dd86a)
donde
Aquí
y
denotan los duales topológicos de
y
respectivamente.
Téngase en cuenta que la norma cruzada inyectiva es solo en algún sentido razonable la "más pequeña".
Las terminaciones del producto tensorial algebraico en estas dos normas se denominan productos tensoriales proyectivos e inyectivos y se denotan por
y
Cuando
y
son espacios de Hilbert, la norma utilizada para su producto tensorial en espacios de Hilbert no es igual a ninguna de estas normas en general. Algunos autores lo denotan como
por lo que el producto del tensor espacial de Hilbert en la sección anterior sería
Una norma cruzada uniforme
es una asignación a cada par
de espacios de Banach de una norma cruzada razonable en
, de modo que si
son espacios de Banach arbitrarios, entonces para todos los operadores (lineales continuos)
y
el operador
es continuo y
Si
y
son dos espacios de Banach y
es una norma cruzada uniforme, entonces
define una norma cruzada razonable en el producto tensorial algebraico
El espacio lineal normado obtenido al equipar a
con esa norma se denota por
La terminación de
es un espacio de Banach, se denota por
El valor de la norma dada por
en
y en el producto tensor completo
para un elemento
en
(o
) se denota por
Se dice que una norma cruzada uniforme
es finitamente generada si, para cada par
de espacios de Banach y cada
![{\displaystyle \alpha (u;X\otimes Y)=\inf\{\alpha (u;M\otimes N):\dim M,\dim N<\infty \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f312586f712040dd40c798c18e1bfe84549df483)
Una norma cruzada uniforme
es cofinitamente generada si, para cada par
de espacios de Banach y cada
![{\displaystyle \alpha (u)=\sup\{\alpha ((Q_{E}\otimes Q_{F})u;(X/E)\otimes (Y/F)):\dim X/E,\dim Y/F<\infty \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad89040ad50a9295199e11479ee53d200e322f29)
Una norma tensorial se define como una norma cruzada uniforme generada de forma finita. La norma cruzada proyectiva
y la norma cruzada inyectiva
definidas anteriormente son normas tensoriales y se denominan norma tensorial proyectiva y norma tensorial inyectiva, respectivamente.
Si
y
son espacios de Banach arbitrarios y
es una norma cruzada uniforme arbitraria, entonces
![{\displaystyle \varepsilon _{A,B}(x)\leq \alpha _{A,B}(x)\leq \pi _{A,B}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb539909c0504d75162a473efe4137ce7b3de71a)
Productos tensoriales de espacios vectoriales topológicos localmente convexos
Las topologías de los espacios vectoriales topológicos localmente convexos
y
están dadas por familias de seminormas. Para cada elección de seminorma en
y en
se puede definir la correspondiente familia de normas cruzadas en el tensor algebraico producto
y al elegir una norma cruzada de cada familia se obtienen algunas normas cruzadas en
que definen una topología. En general, hay una enorme cantidad de formas de hacer esto. Las dos formas más importantes son tomar todas las normas cruzadas proyectivas o todas las normas cruzadas inyectivas. Las completaciones de las topologías resultantes en
se denominan productos tensoriales proyectivos e inyectivos, y se denotan por
y
Existe una aplicación natural de
a
Si
o
es un espacio nuclear, entonces la aplicación natural de
a
es un isomorfismo. En términos generales, esto significa que si
o
es nuclear, entonces solo hay un producto tensorial sensible de
y
.
Esta propiedad caracteriza a los espacios nucleares.
Véase también
Referencias
Bibliografía