Una relación binaria R sobre un conjunto A, es asimétrica cuando si se da que un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces el segundo nunca está relacionado con el primero. Es decir:
![{\displaystyle \forall x,y\in A:\quad xRy\quad \Rightarrow \quad \neg (yRx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e6f7fa4540a1c652f8262e0ac8d412173e710ed)
En tal caso se dice que R cumple con la relación de asimetría.
También podemos decir que R es asimétrica si:
![{\displaystyle \forall x,y\in A:\quad \neg (xRy)\quad \lor \quad \neg (yRx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c9767dabbae0ea293a96980528682b8005de8c)
Representación
Sea R una relación asimétrica aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.
Notación |
Relación asimétrica
|
Como pares ordenados |
|
Como matriz de adyacencia |
Matriz cuya diagonal solo tiene ceros, es decir, y además produce una matriz simétrica.
|
Como grafo |
Es un grafo dirigido sin bucles ni ciclos.
|
Relación simétrica
Cuando una relación es lo opuesto a la asimétrica, nos referimos a que si dado un elemento que está relacionado con otro, entonces ese segundo siempre está relacionado con el primero, o lo que es lo mismo:
![{\displaystyle \forall x,y\in A:\quad xRy\quad \Rightarrow \quad yRx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e7821bcf537ac18f03cb23149a67f00eb48bd4)
Estamos entonces ante una relación simétrica.
Ejemplos de asimetría
Sea A un conjunto cualquiera:
- Sea
,
("mayor estricto que"), al igual que
("menor estricto que"). Sin embargo, no ocurre lo mismo para ≤ ("menor o igual que") o ≥ ("mayor o igual que").
- Sea
,
(la inclusión estricta de conjuntos).
- En A = {1, 2, 3, 4} la relación R = { (1, 3), (4, 2), (2, 3) }. En caso de encontrarnos en A = {1, 2} y tener la relación R = { (1, 2), (2, 1) } estaríamos ante una relación simétrica
- "Ser hijo de" o "ser padre de" conformarían una relación asimétrica, sin embargo, "ser hermano de" no.
Reflexividad
Una relación asimétrica no puede ser a su vez reflexiva, ya que si x = y entonces:
![{\displaystyle \quad xRy\quad \land \quad yRx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0dce15bd0686936dc9d287e1a741fc0d7903ac)
Esto es algo que no puede ocurrir por la propia definición. Es decir, toda relación asimétrica es irreflexiva.
Diferencia entre asimétrica y antisimétrica
Como ya se ha visto, la relación asimétrica y la simétrica son opuestas entre sí, pues nunca se va a dar una relación que sea ambas a la vez, y una que no sea simétrica siempre será asimétrica, y viceversa. Pero esto no ocurre con la antisimétrica.
Una relación antisimétrica es aquella que verifica que si dos elementos de A se relacionan entre sí mediante R, entonces esos dos elementos son iguales:
![{\displaystyle \forall a,b\in A\;:\quad aRb\quad \land \quad bRa\quad \Rightarrow \quad a=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d661b10492006acd433172be951071754748a32)
Una relación puede ser a la vez o simétrica o asimétrica, y antisimétrica.
Véase también
Referencias
- Liu, Chung Laung (1995). «4». Elementos de Matemáticas Discretas (Segunda edición). Illinois: Mc Graw Hill. p. 111. ISBN 970-10-0743-3.