Subespacios fundamentales de una matriz
Sea , un cuerpo, una matriz con coeficientes . Se define el espacio columna, el espacio fila y el espacio nulo de , respectivamente, como
;
;
;
donde denota el vector nulo del espacio vectorial .
Ejemplos
- Sea
. Entonces:
;
;
. La matriz no tiene por qué ser cuadrada; veamos otro ejemplo:
- Sea
. Entonces:
;
;
.
Propiedades
Para las relaciones de ortogonalidades entre conjuntos, siempre se considera el producto escalar estándar de o :
![{\displaystyle \operatorname {Col} (A^{T})=\operatorname {Fil} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d267658f395860bb9c9421f1600f701f24dd4e67)
![{\displaystyle \operatorname {Fil} (A^{T})=\operatorname {Col} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c80c8f700a873ad104d6d3cef63adb4c5e11d33)
![{\displaystyle \operatorname {Nul} (A)\perp \operatorname {Fil} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db32775e531cd627f2a2f3f679c03b4df9682b8b)
![{\displaystyle \operatorname {Col} (A)\perp \operatorname {Nul} (A^{T})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/712315af75ed7ee4cdb2894674a3d485e0e7882b)
.
- Si
y además las columnas de , , forman un conjunto linealmente independiente de , entonces , o sea, la matriz es invertible.
- Si
y además , entonces , o sea, la matriz no es invertible.
.
- Sean
y . Si , entonces existe tal que . Si tomamos , entonces , así que . Por lo tanto, . Además si y solo si .
- Sean
y —en particular, —. Entonces si , también se tiene que . Así, , y ocurre que si y solo si .
- Supongamos que
y sea . Veamos que . Sea , entonces , por lo que . Por otro lado, si , tenemos que , por lo tanto . Como , donde denota el producto escalar estándar de , necesariamente , luego, .
Enlaces externos
- Matriz
- Determinante de una matriz
- Producto escalar estándar
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