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Este aviso fue puesto el 9 de octubre de 2011. |
En álgebra abstracta (específicamente en teoría de grupos), el índice de un subgrupo H en un grupo G se refiere al número de clases laterales en que un subgrupo H particiona a G.
Introducción
[1] Cada subgrupo H de G permite definir dos relaciones de equivalencia sobre G, denotadas por
(equivalencia por la izquierda) y
(equivalencia por la derecha). Se definen como:
![{\displaystyle \forall x,y\in G:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7404f167fb8fc00774134eca38afa78e3be82d74)
![{\displaystyle x\sim _{H}y\iff \exists h\in H:y=xh\iff x^{-1}y\in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4687644cff76b64c75ac3947b84762a788c17e8)
![{\displaystyle \!x\,\,{}_{H}\!\!\sim y\iff \exists h\in H:y=hx\iff yx^{-1}\in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da00a57c990662cc9625104e7f9126f66254d046)
Las llamadas clases laterales son las clases de equivalencia definidas por estas relaciones. Se denotan como
en el caso de
, o bien como
para
.
Las respectivas particiones de G son denotadas por G:H y H:G. Es decir:
![{\displaystyle G:H:=G/\sim _{H}\,=\{gH:g\in G\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5443b5496896c0020beba37c9ec130b064116818)
![{\displaystyle H:G:=G/{}_{H}\!\!\sim \,=\{Hg:g\in G\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/217592ef45f9088e1dbe56c937eb01b9de0db403)
Definición
Sea G un grupo y sea
un subgrupo de G. Al cardinal
se le denomina índice de H en G. Otras notaciones frecuentes para
son
o también
.
En el caso de que G sea finito, tenemos la identidad:
donde se ha utilizado la notación clásica, |G|, para el orden de un grupo.
Referencias
- ↑ Bujalance García, E.; Etayo Gordejuela, J. J.; Gamboa Mutuberría, J. M. (2002). «1. Generalidades. Teorema de Lagrange -- IV. Índice de un subgrupo». En Cuadernos de la UNED, ed. Teoría elemental de grupos. España: UNED. ISBN 978-84-362-4436-6.