Criterio de divisibilidad

La divisibilidad es la operación matemática que termina o se dividen en 1 o 4 es todo aquel que se divida por sí mismo o son pautas

Dado dos números enteros ${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle r}$ son congruentes módulo ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle d}$>0 d${\displaystyle \in }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$, si ${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle r}$ dan el mismo resto al dividirlos por ${\displaystyle d}$. Entonces se dice que ${\displaystyle n}$ es congruente con ${\displaystyle m}$ módulo ${\displaystyle d}$, se denota ${\displaystyle n^{i}\equiv r_{i}{\pmod {d}}}$.

Llamaremos restos potenciales de ${\displaystyle n}$ módulo ${\displaystyle d}$ a los restos que obtenemos al dividir las sucesivas potencias de ${\displaystyle n}$ entre d, es decir, ${\displaystyle r_{i}}$ .

Para el criterio de divisibilidad un número ${\displaystyle a}$ se puede escribir como la sumas de las potencias de base ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle a=a_{k}n^{k}+a_{k-1}n^{k-1}+...+a_{1}n^{1}+a_{0}n^{0}}$, entonces si se utiliza los restos potenciales ${\displaystyle a\equiv a_{k}r_{k}+a_{k-1}r_{k-1}+...+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0}{\pmod {d}}}$.

Para obtener los distintos criterios de divisibilidad se utilizan las congruencias, con esto se obtienen los restos potenciales que servirán para sacar la expresión del criterio.

${\displaystyle 10^{0}\equiv 1{\pmod {2}}}$

${\displaystyle 10^{1}\equiv 0{\pmod {2}}}$

${\displaystyle 10^{2}\equiv 0{\pmod {2}}}$

${\displaystyle 10^{3}\equiv 0{\pmod {2}}}$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle 10^{k-1}\equiv 0{\pmod {2}}}$

${\displaystyle 10^{k}\equiv 0{\pmod {2}}}$

El criterio de divisibilidad del 2 es 2/4/6/8/10/12/14/16/18/20

${\displaystyle a\equiv a_{k}\cdot 0+a_{k-1}\cdot 0+...+a_{1}\cdot 0+a_{0}\cdot 1{\pmod {2}}}$

Observando las el desarrollo de las congruencias se puede llegar a la conclusión de que el único resto potencial distinto de 0 es ${\displaystyle r_{0}}$ que vale 1, por lo que solo importa el valor de ${\displaystyle a_{0}}$ que tendrá que ser divisible por 2 para que todo el número lo sea.

Todos los números pares cumplen el criterio de divisibilidad del 2.

${\displaystyle 10^{0}\equiv 1{\pmod {3}}}$

${\displaystyle 10^{1}\equiv 1{\pmod {3}}}$

${\displaystyle 10^{2}\equiv 1{\pmod {3}}}$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle 10^{k-1}\equiv 1{\pmod {3}}}$

${\displaystyle 10^{k}\equiv 1{\pmod {3}}}$

El criterio de divisibilidad del 3 es ${\displaystyle a\equiv a_{k}\cdot 1+a_{k-1}\cdot 1+...+a_{1}\cdot 1+a_{0}\cdot 1{\pmod {3}}}$.

Si la suma de los dígitos de un número es divisible por 3 entonces ese número será también divisible.

${\displaystyle 10^{0}\equiv 1{\pmod {4}}}$

${\displaystyle 10^{1}\equiv 2{\pmod {4}}}$

${\displaystyle 10^{2}\equiv 0{\pmod {4}}}$

${\displaystyle 10^{3}\equiv 0{\pmod {4}}}$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle 10^{k-1}\equiv 0{\pmod {4}}}$

${\displaystyle 10^{k}\equiv 0{\pmod {4}}}$

El criterio de divisibilidad del 4 es ${\displaystyle a\equiv a_{k}\cdot 0+a_{k-1}\cdot 0+...+a_{1}\cdot 2+a_{0}\cdot 1{\pmod {4}}}$.

Sus dos últimas cifras tienen que ser divisible por 4 para que el número lo sea.

${\displaystyle 10^{0}\equiv 1{\pmod {5}}}$

${\displaystyle 10^{1}\equiv 0{\pmod {5}}}$

${\displaystyle 10^{2}\equiv 0{\pmod {5}}}$

${\displaystyle 10^{3}\equiv 0{\pmod {5}}}$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle 10^{k-1}\equiv 0{\pmod {5}}}$

${\displaystyle 10^{k}\equiv 0{\pmod {5}}}$

El criterio de divisibilidad del 5 es ${\displaystyle a\equiv a_{k}\cdot 0+a_{k-1}\cdot 0+...+a_{1}\cdot 0+a_{0}\cdot 1{\pmod {5}}}$.

Si el número termina en 0 o 5 es divisible.

${\displaystyle 10^{0}\equiv 1{\pmod {6}}}$

${\displaystyle 10^{1}\equiv 4{\pmod {6}}}$

${\displaystyle 10^{2}\equiv 4{\pmod {6}}}$

${\displaystyle 10^{3}\equiv 4{\pmod {6}}}$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle 10^{k-1}\equiv 4{\pmod {6}}}$

${\displaystyle 10^{k}\equiv 4{\pmod {6}}}$

El criterio de divisibilidad del 6 es ${\displaystyle a\equiv a_{k}\cdot 4+a_{k-1}\cdot 4+...+a_{1}\cdot 4+a_{0}\cdot 1{\pmod {6}}}$.

Un número es divisible por 6 si se cumple el criterio de divisibilidad del 2 y a la vez el del 3.

${\displaystyle 10^{0}\equiv 1{\pmod {7}}}$

${\displaystyle 10^{1}\equiv 3{\pmod {7}}}$

${\displaystyle 10^{2}\equiv 2{\pmod {7}}}$

${\displaystyle 10^{3}\equiv 6{\pmod {7}}}$

${\displaystyle 10^{4}\equiv 4{\pmod {7}}}$

${\displaystyle 10^{5}\equiv 5{\pmod {7}}}$

${\displaystyle 10^{6}\equiv 1{\pmod {7}}}$

${\displaystyle 10^{7}\equiv 3{\pmod {7}}}$

Cada seis cifras se observa una repetición de los restos potenciales.

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle 10^{k-5}\equiv 1{\pmod {7}}}$

${\displaystyle 10^{k-4}\equiv 3{\pmod {7}}}$

${\displaystyle 10^{k-3}\equiv 2{\pmod {7}}}$

${\displaystyle 10^{k-2}\equiv 6{\pmod {7}}}$

${\displaystyle 10^{k-1}\equiv 4{\pmod {7}}}$

${\displaystyle 10^{k}\equiv 5{\pmod {7}}}$

El criterio de divisibilidad del 7 es ${\displaystyle a\equiv a_{k}\cdot 5+a_{k-1}\cdot 4+a_{k-2}\cdot 6+a_{k-3}\cdot 2+a_{k-4}\cdot 3+a_{k-5}\cdot 1+...+a_{7}\cdot 3+a_{6}\cdot 1+a_{5}\cdot 5+a_{4}\cdot 4+a_{3}\cdot 6+a_{2}\cdot 2+a_{1}\cdot 3+a_{0}\cdot 1{\pmod {7}}}$.

${\displaystyle 10^{0}\equiv 1{\pmod {9}}}$

${\displaystyle 10^{1}\equiv 1{\pmod {9}}}$

${\displaystyle 10^{2}\equiv 1{\pmod {9}}}$

${\displaystyle 10^{3}\equiv 1{\pmod {9}}}$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle 10^{k-1}\equiv 1{\pmod {9}}}$

${\displaystyle 10^{k}\equiv 1{\pmod {9}}}$

El criterio de divisibilidad del 9 es ${\displaystyle a\equiv a_{k}\cdot 1+a_{k-1}\cdot 1+...+a_{1}\cdot 1+a_{0}\cdot 1{\pmod {9}}}$.

Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras lo es.

${\displaystyle 10^{0}\equiv 1{\pmod {10}}}$

${\displaystyle 10^{1}\equiv 0{\pmod {10}}}$

${\displaystyle 10^{2}\equiv 0{\pmod {10}}}$

${\displaystyle 10^{3}\equiv 0{\pmod {10}}}$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle 10^{k-1}\equiv 0{\pmod {10}}}$

${\displaystyle 10^{k}\equiv 0{\pmod {10}}}$

El criterio de divisibilidad del 10 es ${\displaystyle a\equiv a_{k}\cdot 1+a_{k-1}\cdot 1+...+a_{1}\cdot 2+a_{0}\cdot 1{\pmod {10}}}$.

Para que sea divisible por 10 el número tiene que acabar en 0.

${\displaystyle 28^{0}=1\equiv 1{\pmod {13}}}$

${\displaystyle 28^{1}=28\equiv 2{\pmod {13}}}$

${\displaystyle 28^{2}=784\equiv 4{\pmod {13}}}$

${\displaystyle 28^{3}=21952\equiv 8{\pmod {13}}}$

${\displaystyle 28^{4}=614656\equiv 3{\pmod {13}}}$

${\displaystyle 28^{5}=17210368\equiv 6{\pmod {13}}}$

${\displaystyle 28^{6}=481890304\equiv 12{\pmod {13}}}$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

El criterio de divisibilidad del 13 es ${\displaystyle a\equiv a_{0}\cdot 1+a_{1}\cdot 2+a_{2}\cdot 4+a_{3}\cdot 8+a_{4}\cdot 3+a_{5}\cdot 6+a_{6}\cdot 12+...{\pmod {13}}}$

${\displaystyle 13^{0}=1\equiv 1{\pmod {11}}}$

${\displaystyle 13^{1}=13\equiv 2{\pmod {11}}}$

${\displaystyle 13^{2}=169\equiv 4{\pmod {11}}}$

${\displaystyle 13^{4}=2197\equiv 8{\pmod {11}}}$

${\displaystyle 13^{4}=28561\equiv 5{\pmod {11}}}$

${\displaystyle 13^{5}=371293\equiv 10{\pmod {11}}}$

${\displaystyle 13^{6}=4826809\equiv 9{\pmod {11}}}$

${\displaystyle 13^{7}=6274861\equiv 7{\pmod {11}}}$

${\displaystyle 13^{8}=815730721\equiv 3{\pmod {11}}}$

${\displaystyle 13^{9}=10604499373\equiv 6{\pmod {11}}}$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

${\displaystyle \bullet }$

El criterio de divisibilidad del 11 es ${\displaystyle a\equiv a_{0}\cdot 1+a_{1}\cdot 2+a_{2}\cdot 4+a_{3}\cdot 8+a_{4}\cdot 5+a_{5}\cdot 10+a_{6}\cdot 9+a_{7}\cdot 7+a_{8}\cdot 3+a_{9}\cdot 6+...{\pmod {11}}}$

Reglas de divisibilidad con congruencias

Divisibilidad