En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución Rademacher (que lleva el nombre de Hans Rademacher) es una distribución discreta de probabilidad en la que una variable aleatoria X tiene una probabilidad del 50 % de ser +1 y 50 % de ser -1.[1]
Una serie de Rademacher distribuye las variables pueden considerarse como un simple camino aleatorio simétrico, donde el tamaño del paso es 1.
La función de masa de probabilidad de esta distribución es
![{\displaystyle f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{si }}k=-1,\\1/2&{\mbox{si }}k=+1,\\0&{\mbox{en otro caso}}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3ae0ba111b7cec75f063ee353f5923519a4a80)
Puede también ser escrita como una función de densidad de probabilidad en términos de la función delta de Dirac, como:
![{\displaystyle f(k)={\frac {1}{2}}\left(\delta \left(k-1\right)+\delta \left(k+1\right)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f572e8416033aee66b0abafd5b34bd14d1e6917e)
Límite van Zuijlen
Van Zuijlen ha demostrado el siguiente resultado.[2]
Sea
un conjunto de variables aleatorias independientes con distribución Rademacher, entonces
![{\displaystyle \Pr {\Bigl (}{\Bigl |}{\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{\sqrt {n}}}{\Bigr |}\leq 1)\geq 0.5.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4843a88d802c7b3b4f4301ee164771e73c7afb)
La cota es afilado y mejor que la que se puede derivar de la distribución normal (aproximadamente Pr > 0.31).
Límites sobre sumas
Sea { Xi } un conjunto de variables aleatorias con una distribución Rademacher. Sea
una sucesión de números reales. Entonces
![{\displaystyle \Pr(\sum _{i}X_{i}a_{i}>t||a||_{2})\leq e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531b62dd79e3eec894cb5decce461c9d4a40256a)
donde
es la norma euclidiana de la secuencia
es un número real y Pr (Z) es la probabilidad del evento Z.[3]
También si
es finito entonces
![{\displaystyle \Pr(\sum _{i}X_{i}a_{i}>||a||_{1})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831c99e6ea63fd10806b38e61b914323ecf747b4)
donde
es el 1-norma de la secuencia
.
Sea
,
casi seguramente es una serie convergente en un espacio de Banach. Entonces para
y
tenemos:[4]
![{\displaystyle Pr(||Y||>st)\leq [{\frac {1}{c}}Pr(||Y||>t)]^{cs^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ffc3f7ff47d8865471c654423cd414adfb654a)
para alguna constante
.
Sea
un número real positivo. Entonces[5]
![{\displaystyle c_{1}[\sum {|a_{i}|^{2}}]^{\frac {1}{2}}\leq (E[|\sum {a_{i}X_{i}}|^{p}])^{\frac {1}{p}}\leq c_{2}[\sum {|a_{i}|^{2}}]^{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43389c61c1670c9081f524d7c2dcb3200c6da9e)
donde
y
son constantes que dependen solo de
.
Para
Aplicaciones
La distribución Rademacher se ha utilizado en bootstrapping.
La distribución Rademacher se puede utilizar para demostrar que se distribuye normalmente y no correlacionado no implica independiente.
Distribuciones relacionadas
Distribución de Bernoulli: Si
sigue una distribución Rademacher, luego
tiene una distribución Bernoulli (1/2).
Distribución de Laplace: Si
y
son variables aleatorias independientes, tales que
sigue una distribución Rademacher y
, entonces
Referencias
- ↑ Hitczenko P, Kwapień S (1994) On the Rademacher series. Progress in probability 35: 31-36
- ↑ van Zuijlen Martien CA (2011) On a conjecture concerning the sum of independent Rademacher random variables. http://arxiv.org/abs/1112.4988
- ↑ MontgomerySmith SJ (1990) The distribution of Rademacher sums. Proc Amer Math Soc 109: 517522
- ↑ Dilworth SJ, Montgomery-Smith SJ (1993) The distribution of vector-valued Radmacher series. Ann Probab 21 (4) 2046-2052
- ↑ Khintchine A (1923) Über dyadische Brüche. Math Zeitschr 18: 109–116