El teorema de Routh permite calcular el área del triángulo ΔGHI (en rojo), formado por las tres cevianas AD, BE y CF.
En geometría, el teorema de Routh[1] determina la relación de áreas entre un triángulo dado y un triángulo formado por la intersección de tres cevianas (una por cada vértice).
Nomenclatura
Sea un triángulo cualquiera ΔABC (el exterior, amarillo en el gráfico), en cuyos lados AB, BC y CA se han marcado los puntos F, D y E, siendo estos tres últimos pies cualesquiera de las cevianasAD, BE y CF.
Los puntos I, G y H conforman al triángulo interior ΔIGH (color rojo el en el gráfico). Donde I, G y H son los puntos de intersección de las cevianas (AD con CF), (AD con BE) y (BE con CF).
Denominando a las razones de los respectivos segmentos de cada lado como r, s y t:
Llamando a las áreas de los triángulos ΔABC y ΔIGH respectivamente como AABC y AIGH.
Enunciado del teorema
Con la nomenclatura antes mencionada, el teorema de Routh afirma que el área del triángulo ΔIGH es:
El teorema de Ceva puede ser considerado como un caso especial del teorema de Routh. En el caso especial de que las tres cevianas AD, BE y CF se intersequen en un solo punto, entonces el área del triángulo ΔIGH es 0. Se puede concluir que ( rst = 1 ), lo cual es justamente el enunciado del teorema de Ceva.