El teorema de Weierstraß es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo.
También se puede enunciar en términos de conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos.
Teorema de Weierstraß
Teorema de Weierstraß
Si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado , entonces alcanza sus extremos absolutos, es decir, existen dos puntos tales que para cualquier .
Demostración del Teorema de Weierstraß
Como está acotada al ser [a,b] un compacto y f una función continua aplicada sobre un compacto, podemos asegurar que existe un supremo finito llamado M. Es necesario encontrar un punto d en [a,b] que satisfaga M = f(d). Digamos que n es un número natural. Como M es supremo, M – 1/n no lo es para f. Entonces, existe un punto dn en [a,b] tal que M – 1/n < f(dn). Esto genera una sucesión {dn} según vamos dando valores naturales a n. Como M es supremo por f, tenemos que M – 1/n < f(dn) ≤ M para todo n natural. Entonces, si hacemos tender n hacia infinito por el criterio de compresión tenemos que {f(dn)} converge a M.
Tenemos una sucesión que converge al supremo del conjunto, ahora hay que ver que precisamente el punto dónde se asume el supremo es el punto d, incluido en el conjunto, y por lo tanto este supremo es un máximo. El Teorema de Bolzano-Weierstraß nos dice que existe una subsucesión {}, que converge a un punto d y, dado que [a,b] es cerrado, d está en [a,b]. Como f es continua en el conjunto (incluyendo el punto d), la sucesión {f()} converge a f(d). Pero {f(dnk)} es una subsucesión de {f(dn)} que converge a M, entonces M = f(d), ya que si una sucesión es convergente a un punto cualquier sucesión parcial converge al mismo punto. Por lo tanto, f asume el supremo M en el punto d, y como d es del conjunto es el máximo.
La demostración para ver que el ínfimo del conjunto [a,b] por f se asume dentro del conjunto y por lo tanto es mínimo es análoga a esta. ∎
Generalizaciones del teorema de Weierstraß
El teorema de Weierstraß se puede generalizar a aplicaciones continuas entre espacio topológicos.
Teorema de Weierstraß (generalización)
Sean espacios topológicos y una aplicación continua.