En álgebra abstracta , para un número de estructuras algebraicas , el teorema fundamental de homomorfismos relaciona la estructura de dos objetos entre los cuales se dé un homomorfismo , y del núcleo y de la imagen del homomorfismo ...
En la teoría de grupos , el teorema se puede formular así:
Si
f
:
G
⟶ ⟶ -->
H
{\displaystyle f:G\longrightarrow H}
es un homomorfismo de grupos y
N
{\displaystyle N}
es un subgrupo normal de
G
{\displaystyle G}
contenido en el núcleo de
f
{\displaystyle f}
, entonces existe un único homomorfismo
f
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\bar {f}}}
tal que
f
¯ ¯ -->
∘ ∘ -->
φ φ -->
=
f
{\displaystyle {\bar {f}}\circ \varphi =f}
, en donde
φ φ -->
:
G
⟶ ⟶ -->
G
/
N
{\displaystyle \varphi :G\longrightarrow G/N}
es la proyección canónica . Así, tenemos el diagrama conmutativo siguiente
El homomorfismo
f
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\bar {f}}}
está dado por
f
¯ ¯ -->
(
g
N
)
=
f
(
g
)
{\displaystyle {\bar {f}}(gN)=f(g)}
para todo
g
{\displaystyle g}
de
G
{\displaystyle G}
, y se dice que
f
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\bar {f}}}
es inducido por
f
{\displaystyle f\,\!}
. Nótese que si
g
N
=
h
N
{\displaystyle gN=hN}
, entonces
g
h
− − -->
1
∈ ∈ -->
N
⊂ ⊂ -->
ker
-->
f
{\displaystyle gh^{-1}\in N\subset \ker f}
, por lo que
1
=
f
(
g
h
− − -->
1
)
=
f
(
g
)
f
(
h
)
− − -->
1
{\displaystyle 1=f(gh^{-1})=f(g)f(h)^{-1}}
, así que
f
(
g
)
=
f
(
h
)
{\displaystyle f(g)=f(h)}
y el homomorfismo
f
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\bar {f}}}
está bien definido .
El núcleo de este homomorfismo es
ker
-->
f
¯ ¯ -->
=
(
ker
-->
f
/
N
)
{\displaystyle \ker {\bar {f}}=(\ker f/N)}
, y es un epimorfismo si y solo si
f
{\displaystyle f}
lo es.
Si
f
:
G
⟶ ⟶ -->
H
{\displaystyle f:G\longrightarrow H}
es un homomorfismo, entonces
f
:
G
⟶ ⟶ -->
i
m
f
{\displaystyle f:G\longrightarrow \mathrm {im} \,f}
es un epimorfismo, y puesto que
f
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\bar {f}}}
es inyectivo cuando su núcleo
ker
-->
f
¯ ¯ -->
=
ker
-->
f
/
N
{\displaystyle \ker {\bar {f}}=\ker f/N}
es trivial, lo que sucede si y solo si
ker
-->
f
=
N
{\displaystyle \ker f=N}
,
tenemos un isomorfismo
G
/
ker
-->
f
≃ ≃ -->
i
m
f
{\displaystyle G/\ker f\simeq \mathrm {im} \,f}
. Este caso particular del teorema fundamental de homomorfismos se conoce como primer teorema de isomorfía .
El teorema fundamental de homomorfismos también se cumple para los espacios vectoriales , anillos y módulos tomando, respectivamente, ideales y submódulos en lugar de subgrupos normales.
Véase también
Enlaces externos
Puede verse una demostración de este teorema en el wikilibro de Álgebra, Subgrupos normales .
Bibliografía
Hungerford, T. Algebra . (1974) Springer-Verlag, New York.